Valores propios para $3\times 3$ matrices estocásticas

Question

Este es un gráfico de los valores propios no reales de $10^4$ al azar generado $3\times3$ matrices estocásticas. Está bastante claro que se encuentran en el casco convexo de las tres raíces cúbicas de la unidad.

El límite de la izquierda es fácil de explicar. Si la matriz estocástica $P$ tiene un valor propio no real $\lambda$ entonces $\text{trace}(P)=\lambda+\bar\lambda+1=2\text{Re}(\lambda)+1$ . Por otro lado, el rastro de $P$ es también la suma de sus entradas diagonales, y por tanto es un número real no negativo. Por lo tanto, $\text{Re}(\lambda)\geq -{1\over 2}$ .

Espero que haya una explicación fácil para los otros 2 lados de del triángulo, quizás en términos de alguna otra invariante de la matriz. Hasta ahora, no se me ocurre ninguna. ¿Alguna idea?

Por cierto, no es difícil demostrar que cada punto de el triángulo se puede conseguir como el valor propio de una matriz estocástica de la forma $$P=\begin{bmatrix}1-s-t&s&t\\ t&1-s-t&s\\ s&t&1-s-t \end{bmatrix}$$ para algunos $s\geq 0, t\geq 0, s+t\leq 1$ .

Answer 1

La invariante que buscaba es $3(\lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2)-(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)^2$ que es no negativo para cualquier $3\times 3$ matriz $P$ . Cuando los valores propios son $1$ , $\lambda$ y $\bar\lambda$ Esto significa que $$3(1+2\,\text{Re}(\lambda^2))\geq (1+2\,\text{Re}(\lambda))^2,$$ que se puede reescribir como $$(1-\text{Re}(\lambda))^2\geq 3\,\text{Im}(\lambda)^2.$$ Esto da los otros dos lados del triángulo en la trama.

---

He aquí una prueba de la afirmación anterior. Utilizando la positividad de $P$ y la desigualdad de Cauchy-Schwarz, tenemos \begin{eqnarray*} \lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2&=&\text{Trace}(P^2)\\ &=&\left(\sum_j p_{1j}p_{j1}\right)+\left(\sum_j p_{2j}p_{j2}\right)+\left(\sum_j p_{3j}p_{j3}\right)\\ &\geq&p_{11}^2+p_{22}^2+p_{33}^2\\ &\geq&{1\over 3}\left(p_{11}+p_{22}+p_{33}\right)^2\\ &=&{1\over 3}\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}\right)^2\\ \end{eqnarray*}

Referencia. R. Loewy y D. London, Nota sobre un problema inverso para matrices no negativas , Álgebra Lineal y Multilineal, Volumen 6 , páginas 83-90, 1978.