Tengo una pregunta relacionada con la secuencia y los límites de la secuencia.
Por definición sabemos que la sucesión es una función cuyo dominio es el número natural.Entonces llamamos a una sucesión (a_n) convergente si para todo >0 y todo n>N() implica que |a_n-a|< existe un número natural N(). Y se denota por (a_n)a como n .
En lugar de estas definiciones sabemos que la secuencia (a_n)=(1/n) converge a cero cuando n.Así que esta secuencia es convergente. Y (a_n)=(2^n) no es convergente ningún número ya que (2^n) como n.
hasta ahora todo está bien. ¿Qué tal si cambiamos un poco la definición de secuencia y en lugar de tomar números naturales tomamos enteros como dominio? Entonces nuestra secuencia se convierte en: (...,a_-1,a_0,a_1,...)=(a_n) donde n es entero.Por lo que busco en internet esta secuencia se llama secuencia bilateral.
Luego intenté encontrar los límites de la secuencia que definí antes, pero esto no tiene sentido. En primer lugar, he utilizado la definición tradicional de límite de la secuencia, aunque sé que esta definición es válida cuando tenemos un dominio de número natural.
1er ejemplo:(a_n)=(1/n)=(...,1/-2,1/-1,1/1,1/2,...) parece que esta secuencia va al infinito en ambas direcciones a diferencia de nuestra secuencia habitual. Puedo decir que esta secuencia tiene límite 0. Ya que si partimos (a_n)=(a_-n)'+(a_n)'(con + no me refiero a la adición sino a la operación de unión de conjuntos) entonces (a_n)'=(1,1/2,1/3,...)=(1/n) donde n es número natural y (a_n)'0 como n. De forma similar (a_-n)'=(-1,-1/2,-1,3,...)=(-1/n) donde n es número natural y (a_-n)'0 como -n. (a_-n)'y (a_n)' van ambos a entonces su suma va a cero como |n|. Entonces, ¿implica esto que (a_n) tiene un límite de cero cuando n es entero?
2º ejemplo: He tomado la secuencia (b_n)=(2^n) donde n es un número entero. Por un método similar al anterior obtuve (b_n)=(b_n)'+(b_-n)'(con + no me refiero a la adición sino a la operación de unión de conjuntos). (b_n)'=(2,2^2,2^3,...)(2,4,8,...)=(2^n) donde n es número natural y (b_n)' como n. (b_-n)'=(2^-1,2^-2,2^-3,...)=(1/2,1/4,1/8,...) donde n es número natural y (b_-n)'0 como n. Ahora en una dirección el límite de la secuencia va al infinito en la otra dirección el límite de la secuencia va a 0 pero una secuencia debe tener un límite único así que ¿implica esto que (b_n) no es convergente cuando n es entero?
Ahora como puedes ver en el primer ejemplo para (a_n)=(1/n) si n es un número natural o entero no cambia el resultado y tenemos un límite 0 para ambos casos. Del mismo modo en el segundo ejemplo para (b_n)=(2^n) no es convergente si n es número natural o entero.
No digo que esto funcione siempre o que el método que he utilizado sea válido aquí, pero cómo definimos la convergencia de la secuencia si definimos una secuencia (a_n) donde n es un número entero. O es un concepto totalmente sin sentido para pensar. He visto muy pocas cosas sobre la Secuencia Bilateral sería genial si me sugieren algún libro fuente sitio web etc...
Gracias.
