Simplificar una operación de máxima complicación

Question

He derivado una desigualdad y he llegado a lo siguiente

$$\max\{1, \frac{b}{2}+1\} \leq \max\{a, \frac{b}{2}+ \frac{a}{2}\}$$

Estoy tratando de simplificar más y he llegado a las siguientes conclusiones

$$a \geq 1$$ $$a \geq \frac{b}{2}+1$$ $$a\geq 2$$ $$\frac{b}{2}+ \frac{a}{2} \geq 2$$

¿Cómo puedo proceder y simplificar aún más, son estas desigualdades redundantes?

Gracias

Answer 1

Aquí hay un gráfico de su desigualdad, con $a$ el eje horizontal y $b$ el eje vertical.

Podemos ver la extraña forma de la línea fronteriza: es $a=1$ para $b\le 0$ y $a=2$ para $b\ge 2$ con el segmento de línea de $(1,0)$ a $(2,2)$ . Hay varias formas de describir esto de forma más sencilla que su máxima, pero una forma es

$$a\ge 2 \text{ or } (a\ge 1 \text{ and } b\le 2a-2)$$

Otra forma es

$$\begin{cases} a\ge 1, & \text{if $b\le 0$} \\[2 ex] a\ge \frac 12b+1, & \text{if $0<b<2$} \\[2 ex] a\ge 2, & \text{if $b\ge 2$} \\ \end{cases}$$

Puede ver que sus conclusiones no son del todo correctas. Por ejemplo, no siempre es cierto que $a\ge 2$ ya que $a=1,b=0$ satisface su desigualdad.

Answer 2

A partir de $$\max\{2, \frac{b}{2}+1\} \leq \max\{a, \frac{b}{2}+ \frac{a}{2}\}$$

Veamos el lado izquierdo.

Caso 1: $2 > \frac{b}{2}+1$ . Entonces $b < 2$ . Esto se convierte entonces en $2 \le \max\{a, \frac{b}{2}+ \frac{a}{2}\} < \max\{a, \frac{1}{2}+ \frac{a}{2}\} = \max\{a, \frac{a+1}{2}\}$ . Si $a > \frac{a+1}{2}$ , entonces $a < 1$ para que esto se convierta en $2 < 1$ lo cual es falso.

Por lo tanto, $a \le \frac{a+1}{2}$ , por lo que $a \ge 1$ para que esto se convierta en $2 < \frac{a+1}{2}$ o $a > 1$ que ya conocemos.

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Caso 2: $2 \le \frac{b}{2}+1$ . Entonces $b \ge 2$ . Esto se convierte entonces en $\frac{b}{2}+1 \le \max\{a, \frac{b}{2}+ \frac{a}{2}\} =\frac{a}{2}+ \max\{\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\}$ . Si $a \ge b$ , esto se convierte en $\frac{b}{2}+1 \le a$ . Pero como $b \ge 2$ , $b \ge \frac{b}{2}+1$ lo cual es cierto.

Si $a < b$ , esto se convierte en $\frac{b}{2}+1 < \frac{a}{2}+\frac{b}{2}$ o $a > 2$ .

En todos los casos aquí, $a \ge 2$ .

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Por lo tanto, las soluciones son

$b < 2, a > 1$ ;

$b \ge 2, a \ge 2$ .