Calcular la proyección

Question

Me cuesta demostrarme a mí mismo algo que he leído en un libro:

La distancia desde un punto $x$ a un hiperplano se denota como $\mbox{dist}(x,h)$ (dstancia perpendicular). Sea $x'$ sea cualquier punto del hiperplano. Sea u un vector unitario que es normal al hiperplano. Entonces $\mbox{dist}(x,h) = |u (x-x')|$ la proyección del vector $(x-x')$ en $u$ .

Pido disculpas, pero no se me permite publicar diagramas (como descubrí por las malas cuando mi primer intento de publicación prácticamente desapareció).
Aunque puedo ver cómo $\mbox{dist}(x,h)$ es la proyección de $|(x-x')|$ en el vector unitario $u$ No sé cómo mostrarlo o cómo presentar el problema matemáticamente de forma adecuada.

Se agradece cualquier orientación.

Answer 1

Voy a ilustrar el problema con un ejemplo muy sencillo. Imagina que estás en un espacio tridimensional y tu plano es el plano $z=0$ el suelo de su habitación. Entonces, un vector unitario perpendicular a la superficie es el $u=(0,0,1)$ . Ahora, tomemos el punto $x=(1,2,3)$ que es fácil de entender que tiene una distancia 3 del suelo (su $z$ es 3).

Ahora, tomemos otro punto del plano, por ejemplo $x'=(4,3,0)$ . El vector descrito por estas dos pintas es el $v=(-3,-1,3)$ . La proyección del vector sobre u es $\mbox{proj}(v,u)=v·u=3$ que es la distancia entre el punto y el plano, y no depende del punto $x'$ que tomes.

Lo que ocurre aquí es que la proyección no es sensible a los desplazamientos en las direcciones paralelas al plano. En un caso general lo que se puede hacer es dividir el vector $v=(x-x')=v_{\parallel}+v_{\perp}$ componentes paralelos y perpendiculares al plano. Puedes demostrar que la proyección de $\mbox{proj}(v_{\parallel},u)=0$ (lo que significa que la distancia no dependerá del punto $x'$ en el plano). Y la distancia es simplemente la longitud de $v_{\perp}$ (o, en su defecto, su proyección sobre $u$ ).

Por supuesto, este razonamiento es válido en dimensiones superiores.