Expectativas condicionadas

Question

Supongamos que lanzamos un dado justo hasta obtener un resultado de $6$ . Sea $Y$ denota el número de rollos y deja que $X$ denotan el número de tiradas en las que obtenemos una puntuación de $1$ .

Tengo que encontrar $\mathbb{E}[X]$ y $\mathbb{E}[X^2|Y]$ .

Empecé como:

$Y$ sigue una distribución geométrica con $p=\frac16$ de modo que para $y=1,2,3,\ldots$ $$\mathbb{P}(Y=y)=\frac16 \left(\frac56 \right)^{y-1}.$$

$X|Y$ sigue una distribución binomial tal que para $x=1,2,\ldots,y-1,$ $$\mathbb{P}(X=x|Y=y)= {y-1 \choose x}\left(\frac15\right)^x \left(\frac45 \right)^{y-1-x}.$$

Entonces $\mathbb{E}[X]= \sum_{y=1}^{\infty}\mathbb{E}[X|Y=y]\mathbb{P}[Y=y],$ donde $$\mathbb{E}[X|Y=y]=\sum_{x=1}^{y-1} x{y-1 \choose x}\left(\frac15\right)^x \left(\frac45 \right)^{y-1-x}.$$

Esto se simplifica a $$\mathbb{E}[X|Y=y]=\left(\frac45 \right)^{y-1} \sum_{x=1}^{y-1} x{y-1 \choose x}\left(\frac14\right)^x,$$ pero no puedo proceder desde aquí.

Answer 1

Hay una forma más sencilla de conseguir $E[X]$ . Todos los rollos que no son $1$ o $6$ son irrelevantes, y cada rollo que es $1$ o $6$ tiene un $50/50$ posibilidad de ser $1$ o $6$ . Por lo tanto, el número esperado de $1$ s es el número esperado de caras antes de la primera cola al lanzar repetidamente una moneda justa.

Answer 2

En realidad tengo que resolver la pregunta usando expectativas condicionales. Esto es lo que hice.

$X|Y=y$ sigue una distribución binomial con media $\frac{y-1}{5}$ y la varianza $\frac{4(y-1)}{25}$ .

Así que tenemos $\mathbb{E}[X|Y=y]=\frac{y-1}{5}$ para que

$$\mathbb{E}[X]=\frac16 \sum_{y=1}^{\infty} \frac{y-1}{5} \left(\frac56\right)^{y-1} = \frac{1}{30} \sum_{y=0}^{\infty} y\left(\frac56 \right)^y$$ .

Desde $$\sum_{n=1}^{\infty} n(a^n) = \dfrac{a}{(1-a)^2},$$ encontramos que $\mathbb{E}[X]=1$ .

En cuanto a $\mathbb{E}[X^2|Y]$ viene dada por $\text{Var}[X|Y] + \mathbb{E}^2[X|Y]$ que se simplifica en $$\frac{Y^2 + 2Y -3}{25}.$$