$\int_a^{b} f(x) dx$ existe entonces también $\int_{a+c}^{b+c} f(x-c)dx$

Question

Estoy con un amigo haciendo matemáticas a última hora en el club de matemáticas y nos encontramos con este problema:

$f : [a,b] \rightarrow \mathbb R$ y que $c \in \mathbb R$ . Estoy tratando de mostrar que

$\int_a^{b} f(x) dx$ existe entonces también $\int_{a+c}^{b+c} f(x-c)dx$ y estas dos integrales son iguales.

Esto nos parece casi trivial ya que calculamos rápidamente algunas integrales y esto era obvio, sin embargo estamos teniendo algunos problemas para probarlo. ¿Hay alguna regla en la que se pueda restar una constante en la integral y añadirla en los límites de la integral? Nunca he utilizado esto antes. La ayuda sería genial. Sólo quiero entender cómo se demuestra esto realmente. Gracias.

Answer 1

Si $f$ es continua, se puede utilizar la sustitución. Dejando que $u=x+c$ sea una función de $x$ entonces tenemos las correspondientes diferenciales $du=dx$ y así $\int_a^bf(x)\,dx=\int_{u(a)}^{u(b)}f(u-c)\,du=\int_{a+c}^{b+c}f(u-c)\,du$ .

Sin embargo, $f$ sólo se especifica que es una función, y que la integral existe. Para ello, podemos utilizar la integral de Riemann $\int_a^bf(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\frac{b-a}{n}f(a+\frac{b-a}{n}i)$ y mediante un poco de álgebra obtenemos $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\frac{(b+c)-(a+c)}{n}f(a+c+\frac{(b+c)-(a+c)}{n}i - c)=\int_{a+c}^{b+c}f(x-c)\,dx$ .

Answer 2

Es sencillo demostrarlo a partir de la definición.

Dejemos que $f'(x) = f(x-c)$ .

Supongamos que $P=(a=x_0,x_1,...,x_{n-1},x_n = b)$ es una partición de $[a,b]$ y que $P' = (x_0+c,x_1+c,...,x_{n-1}+c,x_n+c)$ (que es una partición de $[a+c,b+c]$ ).

Entonces $U(f,P) = U(f',P')$ y $L(f,P) = L(f',P')$ .

Del mismo modo, si $P'$ es una partición de $[a+c,b+c]$ podemos construir una partición correspondiente de $[a,b]$ .

De ello se desprende que $\inf_P U(f,P) = \inf_{P'} U(f',P')$ , y de forma similar $\sup_P L(f,P) = \sup_{P'} L(f',P')$ . Por lo tanto, $f'$ es integrable y las integrales son las mismas.

Answer 3

Considere $\int_a^b f(x) \ dx,$
Dejemos que $t = x + c$ inmediatamente nos enteramos de algunas cosas:

1. $f(t - c) = f(x)$
2. $dx = dt$
3. $x=a\implies t = a + c$
4. $x = b\implies t = b + c$

De la sustitución se deduce que $$\int_a^b f(x) \ dx = \int_{a+c}^{b+c}f(t-c)\ dt$$

Además, como ambas son integrales definidas, el uso de $t$ y $x$ es intercambiable. Así que tenemos $$\int_a^b f(x) \ dx = \int_{a+c}^{b+c}f(x-c)\ dx$$

Answer 4

Dibuje las gráficas de $y=f(x)$ y $y=f(x-c)$ en los intervalos $(a,b)$ y $(a+c, b+c)$ respectivamente. Verás que son idénticos, excepto por una traslación horizontal. Las integrales representan las áreas (netas) bajo estas curvas a lo largo de los respectivos intervalos, que por supuesto serán los mismos.