Un ejercicio del libro de Harris

Question

Necesito una pista sobre un ejercicio:

Dejemos que $K$ sea un campo algebraicamente cerrado. Demostrar que cualquier conjunto finito $\Gamma \subset KP^n$ tal que no todos sus puntos se encuentran en la misma línea puede ser dada por polinomios de grado menor que $\operatorname{card}\Gamma$ .

Answer 1

Dado un conjunto de $r+1 (r\geq 2)$ puntos $p_0,p_1,...,p_r \in \mathbb P^n(K) $ mostraré por inducción en $r$ que si los puntos no son colineales el conjunto es una intersección de hipersuperficies de grado $r$ .

Supongamos que $r=2$ (Inicialización de la inducción)
Recordemos que nuestros puntos no están alineados y supongamos que $p_0$ no está en la línea determinada por $p_1,p_2$ .
Dejemos que $L_j \; (j=0,1,2)$ sea una forma lineal tal que su hiperplano de ceros $V(L_j)$ no contiene $p_j$ pero contiene los otros dos $p_i$ 's.
Entonces podemos, como se requiere, describir nuestro conjunto de tres elementos como la intersección de tres cuádricas degeneradas (=unión de dos hiperplanos):

$$ V(L_0.L_1)\cap V(L_1.L_2) \cap V(L_2.L_0)= \lbrace p_0,p_1,p_2 \rbrace $$

Supongamos que $r\geq 3$ .
Elija (por hipótesis de inducción) una familia $(F_i)_{i\in I}$ de polinomios homogéneos de grado $r-1$ cuyos conjuntos cero $V(F_i)$ se cruzan exactamente en el conjunto $\lbrace p_1,...,p_r\rbrace $ .
Además, elija $n$ formas lineales $L_1, ...,L_n$ cuyos conjuntos cero $V(L_j)$ (hiperplanos) se cruzan exactamente en el conjunto único $\lbrace p_0 \rbrace$ .
Entonces los polinomios homogéneos $F_i.L_j \; (i\in I,\; j=1,...,r)$ de grado $r$ tienen conjuntos cero $V(F_i.G_j)$ que definen exactamente el conjunto inicial requerido: $$\bigcap_{i\in I \; j=1,...,r} V(F_i.Lj)= \lbrace p_0,p_1,...,p_r \rbrace $$

Nota:
Lo anterior funciona para todos los campos; la cerrazón algebraica es irrelevante.

Por qué "no colineal" ?
Si nuestro conjunto de $r+1$ puntos fueron incluidos en una línea, cualquier hipersuperficie de grado $r$ que contiene los puntos contendría la línea: esto es esencialmente el hecho elemental de que un polinomio de grado $r$ con $r+1$ los ceros deben ser el polinomio cero.
Pero, obviamente, podemos seguir intersectando tales hipersuperficies hasta que nos pongamos azules: nunca cortarán nuestro $r+1$ puntos, sino, en el mejor de los casos, la línea en la que se encuentran.