Norma del operador inducida por la norma de Frobenius

Question

Supongamos que $T \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ es un operador lineal. A continuación, consideraremos $T$ como una matriz. La norma del operador inducida por $2$ -normas sobre $\mathbb R^n$ viene dada por $\|T\|_{op,2} = \max_{\|x\|_2 = 1} \|Tx\|_2$ . Sea $T$ actúan por multiplicación matricial en el espacio vectorial $\mathcal{M}(n \times m, \mathbb{R})$ es decir, el espacio de $n \times m$ matrices. Qué es la norma del operador $\|T\|_{op,F}$ inducido por la norma de Frobenius $\| \cdot \|_F$ en $\mathcal {M}(n \times m)$ ?

Esto es lo que pienso: Para una matriz dada $A \in \mathcal{M}(n \times m, \mathbb{R})$ , dejemos que $A = (a_1, \dots, a_m)$ donde $a_j \in \mathbb R^n$ \begin{align*} \| TA\|_F^2 &= \|(Ta_1, \dots, Ta_m)\|_F^2 \\ &= \| Ta_1\|_2^2 + \dots \|Ta_m\|_2^2 \le \|T\|_{op,2}^2 \|a_1\|_2^2 + \dots + \|T\|_{op,2}^2 \|a_m\|_2^2 \\&= \|T\|_{op,2}^2 \|A\|_F^2. \end{align*} Parece que la norma del operador $\|T\|_{op,F}$ debe tener como límite superior $\|T\|_{op,2}$ . ¿Son realmente iguales? Gracias.

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EDITAR: @erfink señala este enlace . De hecho, estoy haciendo una pregunta muy diferente a esta. No estoy preguntando la norma de Frobenius de $T$ pero la norma del operador inducida por la norma de Frobenius de $\mathcal{M}(n \times m)$ cuando $T$ actúa sobre este espacio por multiplicación matricial. $T$ incluso no es un elemento del espacio sino un elemento de $\mathcal{M} (n \times n)$ .

Answer 1

Sí, $\max_{\|A\|_F=1}\|TA\|_F=\|T\|_2$ porque $$ \|TA\|_F^2 =\sum_j \|T\mathbf a_j\|_2^2 \le\sum_j \|T\|_2^2\|\mathbf a_j\|_2^2 =\|T\|_2^2\|A\|_F^2 $$ y la igualdad se produce cuando $A=[\mathbf x|0|\cdots|0]$ , donde $\mathbf x$ es un vector singular unitario que corresponde al mayor valor singular de $T$ .

Como alternativa, si se vectoriza $A$ y $TA$ la asignación $A\mapsto TA$ equivale a $\operatorname{vec}(A)\mapsto(I\otimes T)\operatorname{vec}(A)$ . Por lo tanto, $$ \max_{\|A\|_F=1}\|TA\|_F = \max_{\|\operatorname{vec}(A)\,\|_2=1}\|(I\otimes T)\operatorname{vec}(A)\|_2=\|I\otimes T\|_2=\|T\|_2. $$