Sea U $\subset R^n$ estar abierto, y $u:U \Rightarrow$ R sea armónico y no negativo. Demostrar que
$|Du(x_0)| \le \frac{n}{r} u(x_0)$ , $\forall x_0 \in U$ , $\forall B(x_0,r) \subset U$
Realmente necesito la ayuda de alguien.
Muchas gracias
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Post No Bulls
Puntos
4750
En Límite del gradiente interior encontrará una prueba detallada de la estimación $$|Du(x_0)|\le \frac{n}{r}[\sup_{U} u - u(x_0)] \tag{1}$$ Esto es esencialmente equivalente a la estimación que desea. En efecto, dada una función armónica no negativa $u$ , aplique (1) a $-u$ : $$|Du(x_0)|\le \frac{n}{r}[\sup_{U} (-u) + u(x_0)] \le \frac{n}{r}u(x_0) $$ como se desee.
