Pregunta del teorema del valor medio (demostrar que f es constante)

Question

Supongamos que $f, g : R R$ son funciones tales que

$$|f(x) f(y)| |g(x) g(y)| \sqrt{|x y|}$$ para cualquier $x, y R$ . Si $g$ es diferenciable con derivada acotada en todo $R$ , demuestran que $f$ es constante.

Sé que se supone que debo usar MVT para esta pregunta, intenté usar $g(x)$ como la función porque sabemos que es diferenciable (condición requerida para la MVT): $$\frac{g(b)-g(a)}{b-a}=g'(c)$$ $$|g(b)-g(a)|=|g'(c)|b-a|$$ Estoy perdido, no sé por dónde empezar la pregunta.

Answer 1

Si la derivada de $g$ está acotado como $|g'(c)| \le M$ para todos $c$ entonces $$\left| \frac{f(x)-f(y)}{x-y} \right| \le \frac{|g(x)-g(y)|}{\sqrt{|x-y|}} \le M \sqrt{|x-y|}$$ para cualquier $x,y$ donde la última desigualdad proviene de su aplicación del teorema del valor medio. ¿Puedes sacarlo de aquí?