multiplicación de matrices pero por columnas

Question

Estoy atascado con la definición de una regla de multiplicación de matrices inusual y su uso. Dibujé en un papel la definición y el ejemplo que estoy tratando de resolver usando esa definición, pero la definición no parece ser correcta en mi opinión y las dimensiones del resultado de la multiplicación que estoy tratando de hacer es 2X2. Sin embargo, la definición me da una matriz de 2X3. Por favor, ayudadme a entenderlo. ¿Hay algo que se me escapa?

Answer 1

Como se ha mencionado en los comentarios, $b_i^T$ debe ser un vector de filas, así que en tu ejemplo, $$a_1 \cdot b_1^T = \begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1\end{bmatrix}.$$ Así que tienes un $2 \times 1$ multiplicada por una matriz $1 \times 2$ matriz, que le dará una $2 \times 2$ matriz, es decir, la matriz $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ .

A menudo, la forma en que se enseña la multiplicación de matrices consiste en tomar los productos punto de los vectores fila de la primera matriz con los vectores columna de la segunda matriz. En otras palabras, con $a_i^T$ vectores fila y $b_i$ vectores columna, $$AB = \begin{bmatrix}a_1^T\\a_2^T\\\vdots \\a_m^T \end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1 & b_2& \ldots b_k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1^Tb_1 & a_1^Tb_2 & \ldots & a_1^Tb_k\\a_2^Tb_1 & a_2^Tb_2 & \ldots & a_2^Tb_k\\ & \vdots \\ a_m^Tb_1 & a_m^Tb_2 & \ldots & a_m^Tb_k\end{bmatrix}.$$

Si miras lo que es cada uno de esos productos de punto (como una suma), y reagrupas de forma diferente, obtendrás la fórmula de multiplicación que has dado. Para hacerlo un poco más preciso, si miras el $1,1$ entrada de $AB$ en términos de las entradas de $A$ y de $B$ Es decir, es

$$a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+\ldots a_{1n}b_{n1}.$$

Cada uno de estos términos será el $1,1$ entrada de una de las matrices en la suma de su forma de multiplicar matrices. En particular, $a_{1i}b_{i1}$ es el $1,1$ entrada de la $i$ -en la columna de $A$ veces el $i$ -en la fila de $B$ .