Si $\tau$ es estrictamente más fina que la topología estándar $\tau_{st}$ en $\mathbb{R}$ , demuestran su diferencia $\tau \setminus \tau_{st}$ es incontable

Question

Creo que tengo una prueba, pero es un poco enrevesada.

Desde $\tau$ es estrictamente más fino que $\tau_{st}$ existe un conjunto abierto $U \in \tau$ tal que $U \notin \tau_{st}$ . Para cada $x \in \mathbb{R}$ los conjuntos $U \cup (-\infty, x+1) $ y $U \cup (x, +\infty)$ están abiertos en $\tau$ . Sin embargo, como máximo uno de los dos puede estar en $\tau_{st}$ . En aras de la contradicción, supongamos que ambos están en $\tau_{st}$ entonces también lo es su unión, que es $U$ lo cual no puede ser cierto. Por lo tanto, para cada $x \in \mathbb{R}$ hemos construido al menos un conjunto abierto en $\tau$ que no está en $\tau_{st}$ demostrando que su diferencia no es contable.

¿Es esto correcto? ¿Se puede hacer más fácilmente?

Answer 1

En lugar de los conjuntos que estás considerando mira $U\setminus \{x\}$ para $x \in \mathbb R$ . Puede ver que $U\setminus \{x\}\neq U\setminus \{y\}$ siempre que $x,y \in U$ y $x \neq y$ También $U\setminus \{x\} \in \tau_{st} $ para un máximo de un $x$ (porque $U =U\setminus \{x\})\cup U\setminus \{y\}))$ para $x \neq y$ y $U\setminus \{x\} \in \tau $ para todos $x$ . Cuando $U$ es la consideración contable de los intervalos $U \cup (x,x+1)$ se puede utilizar. Te dejo los detalles.