Diámetro de la universalización de la cobertura

Question

Deje $M$ ser de Riemann colector y $\tilde M$ su cobertura universal (con la inducida por la métrica). ¿Cuál es el límite superior de $k=\mathop{diam}\tilde M/\mathop{diam} M$ en términos de $m=|\pi_1(M)|$ (o $\pi_1(M)$)?

Comentarios:

• Hay una similar respuesta a una pregunta aquí, pero no hay cobertura NO es universal. Así, obtenemos $k\leqslant m$, pero $k\ll m$ que se espera.

• La pregunta está abierta incluso en el caso de $\pi_1=\mathbb Z_m$ (incluso asymptotics no se conoce).

• Claramente, $\sup k$ para un determinado grupo finito $\Gamma=\pi_1(M)$ es un invariante de $\Gamma$. Es interesante la invariante?

Ejemplos:

• Para $\pi_1=\mathbb Z_{3\cdot 2^n}$ uno puede hacer $k\sim n$ o $k=O(\log m)$ (véase mi respuesta a continuación).

• Para $\pi_1=S_n$, uno puede hacer $k$ orden $n^2$ o (ver Greg respuesta). Es mucho más que $\log m$, pero todavía se $k=o(\log^2 m)$.

Answer 1

Aquí es un ejemplo provocado por Anton del grafo de Cayley de la reformulación. Pensé en este ejemplo de antes, pero por alguna razón me miscounted. Revisión: Se puede obtener una familia de ejemplos de Anton la pregunta de por mirar el grafo de Cayley de un presentado finito grupo $G$ con cúbicos de relatores. (Cuadrática y relatores, si usted quiere hacer algunos de los elementos de involuciones.) La pregunta es cómo un gran $\text{diam}(G)$ puede ser como una función de la $|G|$. Hasta un factor constante, no importa si los relatores son cúbico o limitado en longitud por cualquier fija $k$. En Anton nueva publicación, sostiene que este grafo de Cayley de la construcción es en realidad equivalente a todos los ejemplos, hasta un factor constante.

Por ejemplo, supongamos que $G = S_n$ en el Coxeter presentación. A continuación, los ponentes, todos tienen la longitud de 2, 4 y 6. Es bien sabido que la longitud de la palabra más larga es $n(n-1)/2$. Esto viola la propuesta de límite superior $\log |G|$.

Answer 2

Aquí está mi ejemplo de la longitud del espacio con $\pi_1(X)=\mathbb Z_{3\cdot 2^n}$ tal que $\mathop{diam}\tilde X$ tiene orden de $n\cdot \mathop{diam} X$ --- no puedo hacer mejor. (Uno puede fácilmente hacer una de 4 dimensiones del colector de salida de este.)

Considere la posibilidad de secuencia $\tau_n$ de las triangulaciones de disco, que se define inductivamente de la siguiente manera:

• $\tau_0$ es un triángulo

• $\tau_{n+1}$ obtenido a partir de $\tau_n$ por el encolado de un triángulo a cada lado de la frontera.

Claramente los límites de $\tau_n$ consta de $3\cdot 2^n$ bordes. Tomemos cíclica de la secuencia de $3\cdot 2^n$ copias de $\tau_n$ y la cola de cada uno de los próximos uno a lo largo de la frontera, la rotación de uno de los bordes. En los obtenidos de un 2-dimensional complejo, el cambio en cada triángulo a triángulo de Reuleaux de la anchura de 1, nos obtaine espacio de $\tilde X$.

En $\tilde X$, tenemos una libre acción isométrica de $\mathbb Z_{3\cdot 2^n}$, actúa por la secuencia de cambios de $\tau_n$'s. Tome $X=\tilde X/\mathbb Z_{3\cdot 2^n}$. Recta hacia adelante para ver que e $\mathop{daim} X\le 2$ $\mathop{diam}\tilde X\ge \tfrac n2$ (la distancia desde el vértice $0$ hasta el vértice $\ell$ es el mínimo número de términos en presetation de $\ell$ como una suma de $\pm 2^s$)...

Answer 3

Aquí está un ejemplo que no dice nada por sí mismo asintóticamente, pero aún es bastante interesante y sugiere otros ejemplos. El Poincaré homología de la esfera tiene un 120 veces la universalización de la cobertura, y se puede calcular que en la ronda métrica el diámetro aumenta por un factor de $\pi/(\arccos \phi^2/\sqrt{8}) \approx 8.09$ donde $\phi$ es la proporción áurea. Este es un vago más favorable constante de que en su construcción en general.

Si $G$ es un compacto, simple, simplemente se conecta Mentira grupo y $\Gamma$ es un subgrupo finito, parece que por separado interesante calcular el diámetro de $G/\Gamma$. Desde $G$ actúa transitivamente sobre este coset espacio, que abarca el radio del subconjunto $\Gamma$ es el diámetro. Por otra parte, $G$ tiene un único bi-invariante de la métrica de Riemann, aunque también podrían considerar la posibilidad de una izquierda-invariantes métricos. La cobertura de radio problema ha sido ampliamente estudiado al $G$ es el espacio Euclidiano y $\Gamma$ es una celosía. Las personas también han pensado en ello, al menos en algunos, por ejemplo, la geometría hiperbólica. Nunca he considerado que también sería muy interesante al $G$ es compacto.

Answer 4

Aquí es un método para obtener un límite superior. Es "elwiki de la comunidad" --- siéntase libre de hacer cambios.

---

Deje $\mathop{diam} M=1$ y $p_1,p_2,\dots,p_m\in \tilde M$ ser el preimages de un punto en $M$. A continuación, $B(1+\epsilon,p_i)$ es un cover de $\tilde M$. Considerar 2-esqueleto $N_2$ de nervio de esta cubierta. Claramente $N_2$ simplemente se conecta y se admite la acción natural de $\pi_1 M$ que es transitiva en el conjunto de vértices.

Todo esto debería dar algunos límites en $\mathop{diam} N_2$ (asumiendo que todos los triángulos son estándar) y es claro que $$\mathop{diam}\tilde M\leqslant \mathop{Const}\cdot(\mathop{diam} N_2+1).$$