Dejemos que $x\in M$ sea un punto, cuyo radio de inyectividad es $r_x$ . Entonces, ¿es cierto que para cualquier punto $y \in B(x, r_x)$ el radio de inyectividad en $y$ es al menos $r_x- d(x, y)$ ? ¿hay algún libro que tenga este resultado o si es falso cuál es el ejemplo de cuenta?
Respuesta
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Esto no es cierto. Consideremos una superficie lisa de revolución que se parece a un cilindro largo de radio $r$ y la longitud $L$ rematados por hemisferios. (Si te importa el hecho de que esta superficie es sólo $C^1$ , puedes suavizarlo a $C^\infty$ manteniendo una superficie de revolución y el argumento se mantendrá).
Dejemos que $x$ sea el punto más alto. Entonces es bastante fácil ver por simetría que el radio de inyectividad en $x$ es $L + \pi r$ es decir, el mapa exponencial puede restringirse a un disco de forma que sea un difeomorfismo sobre toda la superficie excepto el punto antipodal (inferior). En cambio, para cualquier punto $y$ en la parte cilíndrica de la superficie el radio de inyectividad es justo $\pi r$ ya que los círculos de revolución son bucles geodésicos. Elija $L \gg r$ y $y$ bastante cerca de $x$ en la parte cilíndrica y tienes un contraejemplo.
