Una desigualdad en $L^p$ -espacios

Question

Dejemos que $\{f_k\}_{k=1}^{\infty}$ sea una secuencia en $L^p(\Omega,\Sigma,\mu)$ para $1\leq p<\infty$ . Supongamos que $0<c=\inf_k \lVert f_k\rVert_p\leq \sup_k \lVert f_k\rVert_p=C<\infty$ y $f_if_j=0$ para $i\neq j$ . Sea $(a_k)_{k=1}^{\infty}$ sea una secuencia de números reales tal que $\sum_k \lvert a_k\rvert^p<\infty$ . Entonces, por la completitud de $L^p$ , $f=\sum_{k=1}^\infty a_k f_k$ es una función en $L^p(\Omega,\Sigma,\mu)$ . Además,

$$ \lVert f\rVert _p\leq C(\sum_{k=1}^\infty \lvert a_k\rvert ^p)^{1/p}. $$

Y cuando $p=2$ Puedo obtener

$$ \lVert f\rVert_2\geq c(\sum_{k=1}^\infty \lvert a_k\rvert^2)^{1/2}. $$

En general, cómo demostrar $$ \lVert f\rVert _p\geq c(\sum_{k=1}^\infty \lvert a_k\rvert^p)^{1/p} $$ ??? No tengo forma de probarlo.

Answer 1

Dejemos que $S_n:=\{x,f_n(x)\neq 0\}$ . Entonces $\mu(S_i\cap S_j)=0$ si $i\neq j$ (este es el punto clave). Por lo tanto, tenemos $$\lVert f\rVert^p_p=\sum_{i\geqslant 1}\int_{A_i}|f(x)|^p\mathrm d\mu=\sum_{i\geqslant 1}\int_{A_i}|a_i|^p|f_i(x)|^p\mathrm d\mu=\sum_{i\geqslant 1}|a_i|^p\int_{A_i}|f_i(x)|^p\mathrm d\mu\\=\sum_{i\geqslant 1}|a_i|^p\int_{\Omega}|f_i(x)|^p\mathrm d\mu$$ y el resultado es el siguiente.