Intuición para la suma de las tiradas de dados

Question

Dos dados. Uno de 10 caras y otro de 6 caras. Adivina un número entre 2 y 16, si la suma de los dados muestra ese número, te llevas esa cantidad de dólares. ¿Cuál es el mejor número a adivinar para maximizar las ganancias?

Me hicieron esta pregunta en una entrevista. Mi primer pensamiento fue añadir las dos expectativas con linealidad $3.5 + 5.5 = 9$ pero resulta que si se enumeran las posibilidades.., $11$ da la mayor expectativa.

Me preguntaba si alguien puede darme una buena manera de resolver este problema sin enumerar todas las posibilidades. No me dieron mucho tiempo para responder, así que creo que debe haber algún truco. Todavía soy incapaz de encontrarlo incluso días después de la entrevista.

Answer 1

No puede haber más de $6$ resultados posibles para cualquier suma dada porque uno de los dados sólo tiene $6$ caras.

Sumas de $2$ a través de $6$ son demasiado pequeños para tener seis resultados. Las sumas de $12$ a través de $16$ son demasiado grandes. Las sumas de $7$ a través de $11$ dan las seis posibilidades.

La primera vez que se me ocurrió fue pensar (pero no dibujar) un $6$ por $10$ rejilla. Cada diagonal de la parte superior derecha a la inferior izquierda corresponde a una suma. La diagonal más larga de la cuadrícula tiene la longitud $6$ y hay $5$ de estos correspondientes a las sumas señaladas anteriormente ( $7$ a través de $11$ ).

Answer 2

Hay 60 resultados posibles. De ellos, hay seis resultados posibles en los que sale un 9 ( $(1,8)$ a través de $(6,3)$ si se consideran los dados de seis y diez caras como primera y segunda coordenadas), y seis posibles resultados en los que se saca un 11 ( $(1,10)$ a través de $(6,5)$ ). En realidad, cualquier suma del 7 al 11 tiene un número igual de resultados posibles, pero el 11 es el mejor para obtener la mejor cantidad de dinero.

Precisamente, su ganancia esperada con el 9 es $9\cdot\frac6{60}=\$ 0.90$ y la ganancia esperada con 11 es $11\cdot\frac6{60}=\$ 1.10$ . La expectativa de 12, sólo para comprobarlo, es $12\cdot\frac5{60}=$ 1.00$.