Suma del coeficiente del polinomio

Question

Steve le dice a Jon: "Estoy pensando en un polinomio cuyas raíces son todas enteras positivas. El polinomio tiene la forma $P(x)=2x^3-2ax^2+(a^2-81)x-c$ para algunos enteros positivos $a$ y $c$ . ¿Puede decirme los valores de $a$ y $c$ ?" Después de algunos cálculos, Jon dice: "Hay más de un polinomio así". Steve dice: "Tienes razón. Aquí está el valor de $a$ ." Escribe un número entero positivo y pregunta: "¿Puedes decirme el valor de $c$ ?" Jon dice: "Todavía hay dos valores posibles de $c$ ." Encuentre la suma de los dos valores posibles de $c$ .

$$P(x) = 2x^3-2ax^2+(a-9)(a+9)x-c$$

Que las raíces sean $r_1, r_2, r_3$ entonces:

$$P(x) = 2(x - r_1)(x - r_2)(x - r_3)$$

$$= 2x^3 - 2x^2\overbrace{(r_1 + r_2 + r_3)}^{=a} + x\overbrace{(2r_1r_2 + 2r_1r_3 + 2r_2r_3)}^{= (a-9)(a+9)} - \overbrace{2r_1r_2r_3}^{=c}$$

¡Caramba!

$$r_1 + r_2 + r_3 = a$$

$$2(r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3) = (a-9)(a+9)$$

Answer 1

Tenemos $$2(r_1r_2+r_2r_3+r_3r_1) = a^2 - 81 = (r_1+r_2+r_3)^2 - 81$$ Esto nos da $$r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 = 81$$ Desde $81 \equiv 1\pmod8$ obtenemos que uno de ellos es impar, digamos $r_1$ y los otros dos ( $r_2 = 2k_2$ y $r_3 = 2k_3$ ) están igualados. Además, $1 \leq r_1,r_2,r_3 \leq 8$ es decir, $1 \leq k_2,k_3 \leq 4$ y $r_1 \in \{1,3,5,7\}$ .

1. $r_1 = 1$ . Esto nos da $k_2^2 + k_3^2 = 20$ . La única solución posible es $(4,2)$ y $(2,4)$ .
2. $r_2 = 3$ . Esto nos da $k_2^2 + k_3^2 = 18$ . La única solución posible es $(3,3)$ y $(3,3)$ .
3. $r_2 = 5$ . Esto nos da $k_2^2 + k_3^2 = 14$ . No existe ninguna solución.
4. $r_2 = 7$ . Esto nos da $k_2^2 + k_3^2 = 8$ . Esto da $k_2=k_3=2$ .

Por lo tanto, las posibles raíces son $(1,4,8)$ , $(3,6,6)$ y $(7,4,4)$ . Tenga en cuenta que el valor de $r_1+r_2+r_3$ son $13$ , $15$ y $15$ respectivamente. Además, dado $a$ hay dos valores posibles de $c$ . Esto significa que las raíces son $(3,6,6)$ o $(7,4,4)$ . Por lo tanto, los posibles valores de $c$ son $216$ y $224$ .

Answer 2

Podrías continuar así:
$$a^2-2(r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3)=r_1^2+r_2^2+r_3^2=81$$