Producto interior en el semiplano hiperbólico

Question

Creo que esta es la doble pregunta a mi pregunta anterior .

De Gudmundsoon notas, página 60:

Podemos modelar el espacio hiperbólico $\mathbb H^m$ como el espacio del supermedio plano $\mathbb R^+ \times \mathbb R^{m-1}$ con la métrica

$$g_p(X, Y) = \frac{1}{x_1^2} \langle X, Y \rangle_{\mathbb R^m}, $$

donde $x = (x_1, \dots, x_m) \in H^m$ .

Mi pregunta es: ¿cuál es la relación entre la métrica y el producto interior? ¿Cuál es la forma "correcta" de multiplicar esos vectores en un espacio que tiene esa curvatura? Está claro que la "plana" heredada de $\mathbb R ^m$ no tendrá mucho sentido aquí.

Pregunta complementaria: de forma más general, ¿cuál es la forma correcta de construir el producto interior en $(\mathbb R^ m, g)$ para una métrica arbitraria?

Answer 1

Parece que te faltan algunos conceptos clave sobre los espacios tangentes y las métricas riemannianas.

En general, una métrica riemanniana sobre una variedad $M$ es un familia de productos internos, uno por cada punto $p \in M$ .

Dado $p,q \in M$ los espacios tangentes en $p$ y $q$ son espacios vectoriales disjuntos $T_p M$ y $T_q M$ . La unión disjunta de todos estos espacios vectoriales se denomina haz tangente y se denota $$TM = \coprod_{p \in M} T_p M $$

Lo que hace una métrica de Riemann es asignar un producto interno en cada $T_p M$ . No sólo hay un producto interior.

En el ejemplo de $\mathbb H^n$ , $T \mathbb H^n = \mathbb H^n \times \mathbb R^n$ y $T_p \mathbb H^n = \{p\} \times \mathbb R^n$ . La estructura del espacio vectorial en $T_p \mathbb H^n$ es $(p,v) + (p,w) = (p,v+w)$ y $r (p,v) = (p,rv)$ . Dado $p = (x_1,...,x_n) \in \mathbb H^n$ y dado $\vec v,\vec w \in \mathbb R^n$ , lo que $g_p$ es asignar el producto interno $$\langle (p,\vec v) , (p,\vec w) \rangle = \frac{\langle \vec v, \vec w \rangle_{\mathbb R^n}}{x_1^2} $$