infinito negativo y positivo

Question

Esta es una pregunta rara que se me ocurrió y me preguntaba si podría recibir ayuda.

Así que normalmente $\frac{1}{x} = \frac{1}{y}$ entonces x e y tendrían que ser ambos el mismo número, pero con infinito $\frac{1}{-\infty} = \frac{1}{\infty}$ porque 0 = 0 . ¿Cómo funciona esto? ¿La respuesta no es realmente 0 para ambos sino que se aproxima a 0?

Answer 1

Para todos números $x$ y $y$ con un inverso multiplicativo podemos decir que $\frac1x=\frac1y$ si y sólo si $x=y.$ Sin embargo, $\pm\infty$ no son números. Más bien, se utilizan para indicar el aumento/disminución sin límite, una convención notacional solamente. Intentar la aritmética con $\pm\infty$ no es una buena idea, porque hay muchas cosas que pueden salir mal. Algunas de las respuestas aquí discutir los peligros potenciales de hacer esto (y la pregunta, en sí misma, es un ejemplo muy ilustrativo).

Sobre el tema estrechamente relacionado de la división por $0$ , puede encontrar más aquí En las preguntas enlazadas, y en las preguntas a las que esas preguntas están enlazadas.

Curiosamente, la aritmética con el llamado "punto en el infinito" en el plano complejo extendido es menos problemática. Ver aquí bajo la línea proyectiva real y la esfera de Riemann.

Answer 2

Desde $\infty$ no es realmente un número no tiene exactamente sentido decir $\frac{1}{\infty}$ .

Pero probablemente se podría decir, intuitivamente

$$\frac{1}{\infty} := \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n}$$

y de forma similar,

$$ \frac{1}{-\infty} := \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{-n}$$

En este caso, ambos son cero, como usted afirma, pero esto no implica $\infty = -\infty$ porque no se trata de números reales que se puedan manipular de la manera habitual, sino de símbolos formales.

Answer 3

Para algunos propósitos tiene más sentido hablar de un único $\infty$ que se aproxima yendo en la dirección positiva o en la negativa que de dos entidades separadas llamadas $\pm\infty$ .

Y para algunos propósitos no lo hace. La función $\dfrac{1}{1+2^x}$ ciertamente se acerca $0$ como $x\to+\infty$ y enfoques $1$ como $x\to-\infty$ .

Pero cuando se trata de funciones racionales $f$ , usted tiene $f(x)\to\text{something}$ como $x\to\infty$ entonces el "algo" es el mismo independientemente de que $x\to+\infty$ o $x\to-\infty$ . (En particular, si se tiene una asíntota inclinada y $f(x)\to+\infty$ como $x\to+\infty$ entonces $f(x)\to-\infty$ como $x\to-\infty$ pero se puede decir $f(x)\to\infty$ como $x\to\infty$ e interpretar las dos instancias de $\infty$ como el único $\infty$ en ambos extremos de la línea). Y uno tiene $\dfrac{5}{x-8}\to\infty$ como $x\to 8$ y no es necesario distinguir entre acercarse $8$ desde la derecha y acercándose $8$ desde la izquierda. Eso hace que las funciones racionales sean continuas en todas partes.

Así también con valores (es decir, salidas) de las funciones trigonométricas, pero argumentos (es decir, las entradas), pasan de $0$ a $2\pi$ y saludos $0$ como el mismo punto que $2\pi$ . Entonces $\tan x\to\infty$ como $x\to\pi/2$ y eso es sólo $\infty$ en lugar de $\pm\infty$ y no hay que preocuparse por la dirección $x$ se acerca a $\pi/2$ de. Esto hace que $\tan$ y las demás funciones trigonométricas en todas partes continuas.

Esta forma de ver las cosas también encaja bien en la geometría proyectiva.

Así que $\dfrac1x\to0$ como $x\to\infty$ y $\dfrac1x\to\infty$ como $x\to0$ y la función recíproca es continua en todas partes y es unívoca.