El problema de la fórmula de las series de Fourier

Question

Mi libro de texto plantea esta cuestión de la siguiente manera :

Dejemos que $f$ ser un $2\pi$ -periódica de Riemann definida en ${\bf R}$ Entonces demuestre que $f$ puede escribirse como $$f(\theta)\sim\widehat{f}(0)+\sum_{n\geq1}\bigg\{\bigg(\widehat{f}(n)+\widehat{f}(-n)\bigg)\cos(n\theta)+i\bigg(\widehat{f}(n)-\widehat{f}(-n)\sin(n\theta)\bigg)\bigg\}~,$$ siempre que demos $f(\theta)\sim\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty}\widehat{f}(n)e^{in\theta}$ y $\widehat{f}$ es la transformada de Fourier de $f$ .

$\rule{18cm}{2pt}$

Sin embargo, creo que la conclusión puede no ser cierta, en general, cuando no hacemos una suposición $\displaystyle\sum_{n\in{\bf Z}}|\widehat{f}(n)|<+\infty$ ya que esta pregunta puede implicar la cuestión de la convergencia absoluta de una función. ¿O hay otra forma de demostrar esta conclusión que no utilice la propiedad de convergencia absoluta?

Lo siguiente es mi intento a través de la hipótesis adicional $\displaystyle\sum_{n\in{\bf Z}}|\widehat{f}(n)|<+\infty$ :

\begin{align} &\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty}\widehat{f}(n)e^{in\theta}\\ =&\widehat{f}(0)+\sum_{n\in{\bf Z}-\{0\}}\widehat{f} {(n)}\bigg(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\bigg)\\ =&\widehat{f}(0)+\sum_{n\in{\bf Z}_{<0}}\widehat{f} {(n)}\bigg(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\bigg)+\sum_{n\in{\bf Z}_{>0}}\widehat{f} {(n)}\bigg(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\bigg)\\ =&\color{red}{\widehat{f}(0)+\sum_{n\in{\bf Z}_{>0}}\widehat{f} {(-n)}\bigg(\cos((-n)\theta)+i\sin((-n)\theta)\bigg)+\sum_{n\in{\bf Z}_{>0}}\widehat{f} {(n)}\bigg(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\bigg)}\\ =&\color{blue}{\widehat{f}(0)+\sum_{n\in{\bf Z}_{>0}}\bigg\{\widehat{f}(-n)\bigg(\cos((-n)\theta)+i\sin((-n)\theta)\bigg)+\widehat{f}(n)\bigg(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))\bigg)\bigg\}}\\ =&\widehat{f}(0)+\sum_{n\in{\bf Z}_{>0}}\bigg\{\widehat{f}(-n)\bigg(\cos(n\theta)-i\sin(n\theta)\bigg)+\widehat{f}(n)\bigg(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))\bigg)\bigg\}\\ =&\widehat{f}(0)+\sum_{n\geq1}\bigg\{\bigg(\widehat{f}(n)+\widehat{f}(-n)\bigg)\cos(n\theta)+i\bigg(\widehat{f}(n)-\widehat{f}(-n)\sin(n\theta)\bigg)\bigg\} \end{align}

Creo que la igualdad es verdadera de rojo a azul si imponemos la siguiente condición : $$\sum_{n=-\infty}^{\infty}|\widehat{f}(n)e^{in\theta}|=\sum_{n\in{\bf Z}}|\widehat{f}(n)||\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)|=\sum_{n\in{\bf Z}}|\widehat{f}(n)|<+\infty$$

Cualquier consejo o comentario será apreciado. Gracias por considerar mi solicitud.

Answer 1

En realidad, definimos \begin{align*} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\widehat{f}(n)e^{in\theta}=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=-N}^{N}\widehat{f}(n)e^{in\theta}, \end{align*} donde \begin{align*} &\sum_{n=-N}^{N}\widehat{f}(n)e^{in\theta}\\ &=\widehat{f}(0)+\sum_{n=1}^{N}\widehat{f}(n)e^{in\theta}+\sum_{n=1}^{N}\widehat{f}(-n)e^{-in\theta}\\ &=\widehat{f}(0)+\sum_{n=1}^{N}\left(\widehat{f}(n)+\widehat{f}(-n)\right)\cos(n\theta)+i\sum_{n=1}^{N}\left(\widehat{f}(n)-\widehat{f}(n)\right)\sin(n\theta). \end{align*} Así que \begin{align*} \widehat{f}(0)+\sum_{n=1}^{N}\left(\widehat{f}(n)+\widehat{f}(-n)\right)\cos(n\theta)+i\sum_{n=1}^{N}\left(\widehat{f}(n)-\widehat{f}(n)\right)\sin(n\theta)\rightarrow\sum_{n=-\infty}^{\infty}\widehat{f}(n)e^{in\theta}, \end{align*} y el resultado es el siguiente.