distribución de equilibrio, distribución en estado estacionario, distribución estacionaria y distribución límite

Question

Me preguntaba si la distribución de equilibrio, la distribución en estado estacionario, la distribución estacionaria y la distribución límite significan lo mismo, o hay diferencias entre ellas.

Los aprendí en el contexto de las cadenas de Markov de tiempo discreto, por lo que sé. ¿O también aparecen en otras situaciones de procesos estocásticos y probabilidad?

De la página de Wikipedia para Cadena de Markov No me parece que esté muy claro cómo definir y utilizar estos conceptos.

Gracias.

Answer 1

(1) ¡Olvidaste una! En el índice del libro de Gregory Lawler Introducción a los procesos estocásticos (2ª edición) encontramos

• distribución de equilibrio, véase distribución invariante
• distribución estacionaria, véase distribución invariante
• distribución en estado estacionario, véase distribución invariante

Toda esta terminología es para un concepto una distribución de probabilidad que satisface $\pi=\pi P$ . En otras palabras, si se elige el estado inicial de la cadena de Markov con la distribución $\pi$ Entonces el proceso es estacionario. Es decir, si $X_0$ es una distribución dada $\pi$ entonces $X_n$ tiene distribución $\pi$ para todos $n\geq 0$ . Tal $\pi$ existe si y sólo si la cadena tiene un estado recurrente positivo. Una distribución invariante no tiene por qué ser única. Por ejemplo, si la cadena de Markov tiene $n<\infty$ estados, la colección $\{\pi: \pi=\pi P\ \}$ es un simplex no vacío en $\mathbb{R}^n$ cuyos puntos extremos (esquinas) corresponden a clases recurrentes.

(2) El concepto de distribución límite está relacionado, pero no es exactamente lo mismo. Supongamos que $\pi_j:=\lim_n P_{ij}^n$ existe y no depende de $i$ . Se denominan probabilidades límite y el vector $\pi:=(\pi_1,\dots,\pi_n)$ satisfará $\pi=\pi P$ . Por tanto, una distribución límite (si existe) es siempre invariable. Las probabilidades límite existen cuando la cadena es irreducible, recurrente positiva y aperiódica.

Un caso típico en el que la distribución límite no existe es cuando la cadena es periódico . Por ejemplo, para la cadena de dos estados con matriz de transición $P=\pmatrix{0&1\cr 1&0}$ la única distribución invariante es $\pi=(1/2,1/2)$ pero $P_{ij}^n$ alterna entre $0$ y $1$ por lo que no converge.

No estoy seguro de que todos los autores utilicen estos términos de la misma manera, así que hay que tener cuidado al leer otros libros.