Me preguntaba si la distribución de equilibrio, la distribución en estado estacionario, la distribución estacionaria y la distribución límite significan lo mismo, o hay diferencias entre ellas.
Los aprendí en el contexto de las cadenas de Markov de tiempo discreto, por lo que sé. ¿O también aparecen en otras situaciones de procesos estocásticos y probabilidad?
De la página de Wikipedia para Cadena de Markov No me parece que esté muy claro cómo definir y utilizar estos conceptos.
Gracias.
(1) ¡Olvidaste una! En el índice del libro de Gregory Lawler Introducción a los procesos estocásticos (2ª edición) encontramos
Toda esta terminología es para un concepto una distribución de probabilidad que satisface $\pi=\pi P$ . En otras palabras, si se elige el estado inicial de la cadena de Markov con la distribución $\pi$ Entonces el proceso es estacionario. Es decir, si $X_0$ es una distribución dada $\pi$ entonces $X_n$ tiene distribución $\pi$ para todos $n\geq 0$ . Tal $\pi$ existe si y sólo si la cadena tiene un estado recurrente positivo. Una distribución invariante no tiene por qué ser única. Por ejemplo, si la cadena de Markov tiene $n<\infty$ estados, la colección $\{\pi: \pi=\pi P\ \}$ es un simplex no vacío en $\mathbb{R}^n$ cuyos puntos extremos (esquinas) corresponden a clases recurrentes.
(2) El concepto de distribución límite está relacionado, pero no es exactamente lo mismo. Supongamos que $\pi_j:=\lim_n P_{ij}^n$ existe y no depende de $i$ . Se denominan probabilidades límite y el vector $\pi:=(\pi_1,\dots,\pi_n)$ satisfará $\pi=\pi P$ . Por tanto, una distribución límite (si existe) es siempre invariable. Las probabilidades límite existen cuando la cadena es irreducible, recurrente positiva y aperiódica.
Un caso típico en el que la distribución límite no existe es cuando la cadena es periódico . Por ejemplo, para la cadena de dos estados con matriz de transición $P=\pmatrix{0&1\cr 1&0}$ la única distribución invariante es $\pi=(1/2,1/2)$ pero $P_{ij}^n$ alterna entre $0$ y $1$ por lo que no converge.
No estoy seguro de que todos los autores utilicen estos términos de la misma manera, así que hay que tener cuidado al leer otros libros.
Hola, sé que esto es mucho más tarde que cuando publicaste esto pero tengo una pregunta. ¿Significa este post que para calcular la distribución límite y las distribuciones estacionarias, utilizamos el mismo procedimiento de calcular la $\pi = \pi P$ pero en ciertos casos se llama distribución límite y en otras ocasiones es la distribución estacionaria
@Kaish: Creo que tienes razón. Toda distribución limitante es invariante (o estacionaria), pero no toda distribución invariante puede obtenerse de la iteración de la matriz de transición (es decir, no todas son distribuciones limitantes). Una distribución invariante o estacionaria se define por $\pi = \pi P$ así que siempre satisfarán eso.
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Hasta donde yo sé, una distribución estacionaria es invariante bajo la evolución de la cadena de Markov, es decir, $\bar{\pi} = P \bar{\pi}$ pero no toda distribución estacionaria es necesariamente la distribución a la que converge la cadena en el límite (distribución limitante). Hay condiciones en las que ambas son iguales.
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@RandomGuy: ¡Gracias! (1) si ambos existen, ¿en qué condiciones serán los dos iguales, y en qué casos no? (2) ¿La existencia de uno implica la existencia del otro, o bajo qué condiciones esto será cierto?