El comentario de dmckee es correcto, este problema es difícil (¿imposible?) de resolver con lápiz y papel. Pero no es demasiado difícil de plantear, lo que espero que responda a tu pregunta. Habrá cálculo avanzado según los estándares de la escuela secundaria (incluyendo ecuaciones diferenciales), no hay manera de evitarlo, pero intentaré explicar las ecuaciones a nivel de escuela secundaria, espero...
Me saltaré la parte balística del laboratorio, que es bastante similar en cuanto a la configuración, pero simultáneamente más complicada (porque la pelota no está obligada a seguir una trayectoria determinada) y menos complicada (porque no hay fricción de rodadura, sino sólo resistencia del aire). Incluiré la resistencia al aire, pero puedes eliminar este término si quieres simplificar las cosas (aunque a estas alturas vas a resolver con un ordenador de cualquier manera, así que puedes incluirlo).
Comienza con la conservación de la energía. Esto significa que en cualquier momento, la energía liberada del potencial gravitatorio debe ser igual a la energía cinética (traslacional y rotacional) más el trabajo realizado (energía perdida) hasta el momento por la fricción y el arrastre.
$$U_{g}-U_{g,i} = K_t + K_r + W_f + W_d$$
Vamos a repasarlas término por término, pero antes tenemos que establecer algunas cosas. En primer lugar, ¿cuál es nuestro objetivo? Al final, tendremos dos incógnitas, una constante para la fricción ( $\mu$ ) y para el arrastre ( $C_d$ que definiré más adelante). También va a haber un resultado intermedio importante, que es encontrar $s(t)$ : Llamaré a la distancia recorrida a lo largo de la vía $s$ Así que $s(t)$ es una función que describe el tiempo que tarda la bola en llegar a cualquier punto de la pista.
Señalaré que la velocidad de la pelota es $\frac{{\rm d}s}{{\rm d}t}$ . Cuando necesitemos trabajar con vectores, utilizaré $\hat{x}$ & $\hat{y}$ coordenadas, donde la gravedad está en la $-\hat{y}$ dirección. El otro vector muy importante será el vector normal de la vía, $\hat{N}$ . Escribiré este vector como:
$$\hat{\bf N} = N_x(s)\hat{\bf x} + N_y(s)\hat{\bf y}$$
También está el vector tangente, que necesitaremos en un momento dado:
$$\hat{\bf T} = T_x(s)\hat{\bf x} + T_y(s)\hat{\bf y}$$
Las dos funciones $N_x(s)$ y $N_y(s)$ dependen de la forma de la vía, pero son conocidos: puedes escribirlos utilizando la forma conocida de la vía y la geometría.
Ahora estamos listos para ir:
- $U_g = mgy(s)$ y $U_{g,i} = mgy_0$ Son bastante fáciles, sólo la energía potencial gravitacional habitual, expresada en términos de la altura $y(s)$ en una posición determinada de la vía, y la altura inicial $y_0$ .
- $K_t = \frac{1}{2}m\left(\frac{{\rm d}s}{{\rm d}t}\right)^2$ , la energía cinética de traslación habitual, recordando la velocidad que señalé antes.
- $K_r = \frac{1}{2}\frac{I}{r^2}\left(\frac{{\rm d}s}{{\rm d}t}\right)^2$ , la energía cinética de rodadura habitual, suponiendo una rodadura sin deslizamiento. $I$ es el momento de inercia de la pelota, que debes medir/calcular, y $r$ es el radio de la bola.
- $W_f$ empieza a ser complicado. Puede que sepas que el trabajo es la fuerza por la distancia, pero ¿qué pasa si la fuerza cambia con la distancia? Entonces necesitas una integral: $W = \int_{s_0}^{s_1} F(s)ds$ (no hay que preocuparse por los ángulos porque el rozamiento siempre actúa en sentido contrario al de la marcha). La fuerza de rozamiento es la fuerza normal por el coeficiente de rozamiento, por lo que necesitamos conocer la fuerza normal en cada momento. Por suerte, esto no es muy difícil de obtener. Sabemos que la bola se mantiene en la pista, lo que nos indica que la fuerza en la dirección normal a la pista debe ser exactamente la adecuada para mantener la bola en la pista. En un segmento de pista circular, esto se reduce a la aceleración centrípeta $v^2/R$ En una pista más genérica podemos fingir que el trozo de pista que nos interesa es parte de una pista circular, y preguntar cuál sería su radio para obtener la aceleración centrípeta. Ese radio es : $$R(s) = \left|\frac{{\rm d}\hat{\bf T}}{{\rm d}s}\right|^{-1}$$ Ahora sabemos que la aceleración en el $\hat{\bf N}$ la dirección debe ser $\left(\frac{{\rm d}s}{{\rm d}t}\right)^2/R(s)$ (eso es " $v^2/r$ " aceleración centrípeta para nuestro problema). Ahora podemos utilizar ${\bf F}=m{\bf a}$ en el $\hat{\bf N}$ dirección para obtener la fuerza de fricción. Las únicas fuerzas que actúan en el $\hat{\bf N}$ dirección son la gravedad y la fuerza normal; la fricción y la resistencia son exclusivamente en la $\hat{\bf T}$ dirección. Así que: $$mg\hat{\bf y}\cdot\hat{\bf N} + F_N = m\frac{\left(\frac{{\rm d}s}{{\rm d}t}\right)^2}{R(s)}$$ Resolviendo la fuerza normal $F_N$ (y evaluando ese producto punto): $$F_N = m\frac{\left(\frac{{\rm d}s}{{\rm d}t}\right)^2}{R(s)} - mgN_y(s)$$ y la fuerza de fricción es $$F_f = \mu\left[m\frac{\left(\frac{{\rm d}s}{{\rm d}t}\right)^2}{R(s)} - mgN_y(s)\right]$$ Así que finalmente podemos escribir una expresión para $W_f$ : $$W_f = \mu m\int_0^s\left[\frac{\left(\frac{{\rm d}s'}{{\rm d}t}\right)^2}{R(s')} - gN_y(s')\right]{\rm d}s'$$
- $W_d$ El trabajo realizado por el arrastre es, afortunadamente, mucho más fácil. Se aplica la misma idea, integrando la fuerza a lo largo de la trayectoria. De nuevo, no hay que preocuparse por los ángulos, porque la resistencia se opone exactamente a la dirección del movimiento. Una expresión sencilla para la fuerza de arrastre que debería ser aplicable aquí es $F_d = \rho v^2 C_d \pi r^2$ - la densidad del aire es $\rho$ la velocidad de la pelota es $v$ el área de la sección transversal de la bola es $\pi r^2$ y hay una constante $C_d$ , un "coeficiente de arrastre", esto es similar a $\mu$ para el arrastre. Escribiendo esto de forma coherente con la notación anterior, $$F_d = \pi r^2 \rho C_d \left(\frac{{\rm d}s}{{\rm d}t}\right)^2$$ Entonces sólo hay que poner esto en una integral para conseguir el trabajo: $$W_d = \pi r^2 \rho C_d \int_0^s\left[\left(\frac{{\rm d}s'}{{\rm d}t}\right)^2\right]{\rm d}s'$$
Así que esos son todos los términos, ahora los meteré todos en la primera ecuación en la parte superior de esta respuesta (y pondré todo en un lado)...
$$0 = mg\left(y(s) - y_0\right) + \frac{1}{2}m\left(\frac{{\rm d}s}{{\rm d}t}\right)^2 + \frac{1}{2}\frac{I}{r^2}\left(\frac{{\rm d}s}{{\rm d}t}\right)^2 +\\ \mu m\int_0^s\left[\frac{\left(\frac{{\rm d}s'}{{\rm d}t}\right)^2}{R(s')} - gN_y(s')\right]{\rm d}s' + \pi r^2 \rho C_d \int_0^s\left[\left(\frac{{\rm d}s'}{{\rm d}t}\right)^2\right]{\rm d}s'$$
Esto es todo un lío, pero es un ecuación integro-diferencial para $s(t)$ . La idea es encontrar una función $s(t)$ cuando se sustituye en esta ecuación, hace que el lado derecho sea igual a $0$ . En este caso, estoy casi seguro de que no se puede hacer a mano (lápiz y papel) y en su lugar habría que encontrar una solución aproximada utilizando un ordenador. Hay un par de complicaciones finales antes de poder resolver esto. En primer lugar, las ecuaciones de este tipo necesitan lo que se llama condiciones iniciales y de contorno. Éstas proporcionan algunas restricciones adicionales a la función $s(t)$ . Aquí son bastante sencillos, y sólo expresan que la longitud de la vía es $L$ que la velocidad inicial es $0$ y que la velocidad en el momento del lanzamiento $t_L$ (que se mediría en el laboratorio) es $v_L$ (que también se mediría en el laboratorio). Estas son las condiciones:
- $s(t=0) = 0$
- $s(t=t_L) = L$
- $\left.\frac{{\rm d}s}{{\rm d}t}\right|_{t=0} = 0$
- $\left.\frac{{\rm d}s}{{\rm d}t}\right|_{t=t_L} = v_L$
Por último, pero no menos importante, está la cuestión de las dos incógnitas que intentamos medir, $\mu$ y $C_d$ . A menos que mi intuición me falle, creo que acabarás con un sistema de ecuaciones con demasiadas incógnitas para resolver, dada tu entrada. Esto es bastante fácil de remediar haciendo algunas mediciones adicionales de tiempo y/o velocidad en el laboratorio. Las cosas son bastante inciertas ya que $s(t)$ depende de $\mu$ y $C_d$ y es necesario conocer las constantes antes de encontrar $s(t)$ porque estás encontrando una solución aproximada. Esto termina significando que necesitas encontrar soluciones $s(t)$ para muchas combinaciones de $\mu$ y $C_d$ (probablemente de alguna manera inteligente que ayude a encontrar el correcto rápidamente), y luego elegir el que funciona con sus medidas.
Así que... ¡supongo que puedes ver por qué tu profesor sugirió una simple suposición para evitar que el problema se salga de control!
