Condición suficiente para que una matriz sea definida positiva

Question

¿Es una condición suficiente para un $2\times 2$ matriz $$\left(\begin{array}{cc}a&b\\b&d\end{array}\right)$$ sea positiva definida que $a >0$ y $ad > b^2$ ?

Answer 1

Una pista: Una condición suficiente para un $2\times 2$ para que sea definida positivamente es $$\det A > 0 \qquad \text{and} \qquad \operatorname{Tr} A > 0.$$

Para que lo descubras:

• ¿Esto es cierto debido al hecho de que ...?

• Esto implica para $a,b,c,d$ ...?

Answer 2

La respuesta (independientemente de cómo $c$ y $d$ están posicionados) es no. Las condiciones son independientes de $d$ y la definición positiva de la matriz no puede ser independiente de una de las entradas. Fija cualquier valor para las entradas restantes que satisfagan tus condiciones, y luego haz $d$ arbitrariamente grande y negativo. Entonces un vector $x$ avec $1$ s en los lugares correctos conducirá a un valor $x^\top Ax\approx d\lt0$ .

Sin embargo, hay que tener en cuenta que algunos definen la definición positiva sólo para las matrices hermitianas. A juzgar por su $b^2$ Supongo que se trata de matrices reales; en ese caso, "hermitiana" significaría "simétrica". Tu etiquetado de las entradas no tiene sentido para matrices simétricas, pero si lo ajustas a ese caso sustituyendo $d$ por $b$ entonces, efectivamente, las dos condiciones que enuncias son las condiciones de que los dos menores principales de la matriz sean positivos, lo cual es una condición necesaria y suficiente para que la matriz sea positiva-definida.

[Editar:] Ese último párrafo dependía de tu etiquetado original de las entradas. Ahora que has cambiado al etiquetado habitual en el orden de lectura en latín, $b$ y $d$ ya no están relacionados por simetría. Mi impresión es que tu etiquetado puede ser confuso precisamente porque estás mezclando el caso general y el caso simétrico.

Answer 3

Sí. Por El criterio de Sylvester una matriz simétrica es definida positiva si todos los menores pricipales son positivos. (Esto es válido para cualquier tamaño, no sólo para $2 \times 2$ .)

Answer 4

Una ruta ligeramente intelectual: si una matriz simétrica $\mathbf A$ es positiva definida, entonces la matriz $\mathbf X\mathbf A\mathbf X^\top$ también es positiva definida (Sylvester). Ahora, consideremos la descomposición

$$\begin{pmatrix}a&b\\b&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\\frac{b}{a}&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a&0\\0&d-\frac{b^2}{a}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&0\\\frac{b}{a}&1\end{pmatrix}^\top$$

¿Cómo se comprueba si una matriz diagonal es definida positiva?