¿Cuándo se cumple la linealidad de las integrales definidas de Riemann?

Question

Mi libro de cálculo dice que si las funciones $f$ y $g$ son continuas en un intervalo cerrado $[a,b]$ entonces $$ \int_a^b (f(x)+g(x)) \, dx=\int_a^b f(x) \, dx+\int_a^b g(x) \, dx $$

donde las integrales están en el sentido de Riemann. Sin embargo, hay muchas aplicaciones importantes para funciones con discontinuidades. ¿Esta identidad se aplica también en todos los casos en los que existen las tres integrales? Si no es así, ¿qué otras restricciones son necesarias para incluir funciones con discontinuidades?

*** La actualización de los datos de la página web de la empresa.

Creo que tengo un ejemplo en el que excluir las discontinuidades es relevante. $ \int_0^{\infty } \left(\sin (x) \cos \left(\frac{1}{x}\right)-\sin (x)\right) \, dx $ está bien definida pero

$ \int_0^{\infty } \sin (x) \cos \left(\frac{1}{x}\right) \, dx-\int_0^{\infty } \sin (x) \, dx $ implica dos integrales que no existen. Parece que las condiciones suficientes utilizadas en mi libro de texto no se cumplen en este ejemplo porque sin(x) no es continua en $\infty$ .

Answer 1

El teorema correcto en el marco de la integración de Riemann es el siguiente:

Si $f,g:[a,b]\to\Bbb{R}$ son integrables de Riemann sobre $[a,b]$ entonces $f+g$ también es integrable en Riemann sobre $[a,b]$ y en este caso tenemos \begin{align} \int_a^b(f+g)&= \int_a^bf+\int_a^bg. \end{align}

Una prueba debería estar disponible en cualquier buen libro de texto (por ejemplo, está en el libro de Cálculo de Spivak). Por supuesto, las funciones continuas son Riemann-integrables, así que se puede aplicar este resultado a las funciones continuas. Por supuesto, también hay muchas funciones Riemann-integrables que no son continuas; el thereom también es válido para estas funciones. Como se puede ver en el enunciado del teorema, ¡no se menciona para nada la continuidad!

Answer 2

Para la ecuación $$ \int_a^b (f(x)+g(x)) \, dx=\int_a^b f(x) \, dx+\int_a^b g(x) \, dx \tag1$$ podemos decir: si dos de las integrales existen, entonces también existe la tercera, y $(1)$ retenciones. Esto funciona para la integral de Riemann, y también para la integral de Riemann impropia.

Answer 3

El resultado es casi inmediato utilizando la caracterización con funciones de paso $\mathcal S$ (no hay que preocuparse por la contabilidad de las discontinuidades o cosas así, está oculto en el hecho de considerar funciones de entrada $f,g$ como integrable de Riemann).

La integral de Riemann $I()$ es lineal para las funciones escalonadas ya que una suma de dos funciones escalonadas es una función escalonada y es posible tomar una subdivisión común que concuerda con la subdivisión de cada una tomada por separado.

Por lo tanto, si $f,g$ son integrables de Riemann se puede encontrar $(f_n,g_n,F_n,G_n)\in\mathcal S^4$ tal que:

$\begin{cases} f_n\le f\le F_n &\quad I(F_n-f_n)\to 0&\quad I(f)=\lim\limits_{n\to\infty}I(F_n)=\lim\limits_{n\to\infty}I(f_n)\\ g_n\le g\le G_n &\quad I(G_n-g_n)\to 0 &\quad I(g)=\lim\limits_{n\to\infty}I(G_n)=\lim\limits_{n\to\infty}I(g_n)\end{cases}$

Ahora tenemos $\quad\overbrace{(f_n+g_n)}^{\in\mathcal S}\le (f+g)\le \overbrace{(F_n+G_n)}^{\in\mathcal S}\quad$ y

$I((F_n+G_n)-(f_n+g_n))=I((\overbrace{F_n-f_n}^{\in\mathcal S})+(\overbrace{G_n-g_n}^{\in\mathcal S}))=\overbrace{I(F_n-f_n)}^{\to 0}+\overbrace{I(G_n-g_n)}^{\to 0}\to 0$

Esto significa que $f+g$ es integrable de Riemann y (o similarmente con $f_n,g_n$ ) :

$I(f+g)=\lim\limits_{n\to\infty}I(F_n+G_n)=\lim\limits_{n\to\infty}I(F_n)+\lim\limits_{n\to\infty}I(G_n)=I(f)+I(g)$

La multiplicación por un escalar funciona de forma similar.

Answer 4

Si integramos vía Lebesgue, entonces la misma igualdad se mantiene para las funciones discontinuas, siempre que $f$ y $g$ son discontinuas sólo en un subconjunto denso numerable de su dominio. Para ser justos, la condición de ser integrable no depende de la continuidad: existen funciones no continuas que son integrables. Como ejemplo se puede tomar la función suelo, que es claramente integrable pero tiene discontinuidades en cada número de $\mathbb{Z}$ que no es denso en $\mathbb{R}$ .