Mostrar $B(t)/t\to0$ a.s. para $t\to\infty$ donde $B(t)$ es SBM

Question

Supongamos que $B(t),t\in[0,\infty)$ es un movimiento browniano estándar. Sé que $\exp(\alpha B_t-\dfrac{\alpha^2t}{2})$ es una martingala. Quiero usar esto para mostrar que casi seguramente, $B(t)/t\to0$ como $t\to\infty$ .

Entiendo que tengo que utilizar una desigualdad máxima adecuada.

Normalmente lo que hacemos es que primero arreglamos $\theta>1$ y luego $\rho<1$ avec $\rho\theta>1$ . A continuación, mostramos $\sum_n P[\sup_{\theta^n\leq t\leq \theta^{n+1}}|\dfrac{B_t}{t}|>\rho^n]<\infty$ lo que implica por Borel Cantelli que $B(t)/t\to 0$ a.s.

Aquí utilizamos la desigualdad máxima de Doob.

Pero supongamos que quiero mostrar usando la martingala exponencial. ¿Cómo puedo mostrar esto?

Answer 1

Escriba $M^{\alpha}_t = \exp\left( \alpha B_t - \frac{\alpha^2}{2}t \right)$ y observe que, si $\alpha > 0$ entonces

$$ \limsup_{t\to\infty} B_t/t > \alpha \quad \Rightarrow \quad \limsup_{t\to\infty} M^{\alpha}_t = \infty. $$

Pero como $M^{\alpha}_t$ es una martingala positiva, el teorema de convergencia de la martingala de Doob dice que $M^{\alpha}_t$ converge a.s., y así, $\mathbb{P}\left( \limsup_{t\to\infty} B_t/t > \alpha \right) = 0$ . Entonces, dejar que $\alpha \downarrow 0$ muestra que $\limsup_{t\to\infty} B_t/t \leq 0$ a.s. Desde la ley de $B_t$ es simétrico, esto también dice que $\liminf_{t\to\infty} B_t/t \geq 0$ a.s., por lo que se obtiene la convergencia deseada.

Pero si no estamos obligados a usar $M^{\alpha}_t$ entonces mi prueba favorita es utilizar $(B_t/t)_{t > 0} \stackrel{d}= (B_{1/t})_{t > 0}$ . Entonces la solución es tan trivial como la afirmación $\lim_{s\to0} B_s = 0$ a.s.