El conjunto de soluciones puede escribirse como una tabla, segmentada por e's potencias de $2$ :
t | e=0 | e=1 | e=2 | e=3 | e=4 | ...
----+--------------------------+----------------------------+----------------------------+-----------------------------+------------------------------+----
| ... | ... | ... | ... | ... |
-4| 56*2^2 = (-15)^2-1 | 105*2^3 = (-29)^2-1 | 203*2^4 = (-57)^2-1 | 399*2^5 = (-113)^2-1 | 791*2^6 = (-225)^2-1 |
-3| 30*2^2 = (-11)^2-1 | 55*2^3 = (-21)^2-1 | 105*2^4 = (-41)^2-1 | 205*2^5 = (-81)^2-1 | 405*2^6 = (-161)^2-1 |
-2| 12*2^2 = (-7)^2-1 | 21*2^3 = (-13)^2-1 | 39*2^4 = (-25)^2-1 | 75*2^5 = (-49)^2-1 | 147*2^6 = (-97)^2-1 |
|
-1| 2*2^2 = (-3)^2-1 | 3*2^3 = (-5)^2-1 | 5*2^4 = (-9)^2-1 | 9*2^5 = (-17)^2-1 | 17*2^6 = (-33)^2-1 |
0| 0*2^2 = (1)^2-1 | 1*2^3 = (3)^2-1 | 3*2^4 = (7)^2-1 | 7*2^5 = (15)^2-1 | 15*2^6 = (31)^2-1 |
|
1| 6*2^2 = (5)^2-1 | 15*2^3 = (11)^2-1 | 33*2^4 = (23)^2-1 | 69*2^5 = (47)^2-1 | 141*2^6 = (95)^2-1 |
2| 20*2^2 = (9)^2-1 | 45*2^3 = (19)^2-1 | 95*2^4 = (39)^2-1 | 195*2^5 = (79)^2-1 | 395*2^6 = (159)^2-1 |
3| 42*2^2 = (13)^2-1 | 91*2^3 = (27)^2-1 | 189*2^4 = (55)^2-1 | 385*2^5 = (111)^2-1 | 777*2^6 = (223)^2-1 |
4| 72*2^2 = (17)^2-1 | 153*2^3 = (35)^2-1 | 315*2^4 = (71)^2-1 | 639*2^5 = (143)^2-1 | 1287*2^6 = (287)^2-1 |
| ... | ... | ... | ... | ... |
----+--------------------------+----------------------------+----------------------------+-----------------------------+------------------------------+----
es decir, siempre $$n_2 \cdot 4\cdot 2^e = n_1 ^2 -1 \tag 1 $$
Aquí $n_2=f_e(t)$ puede escribirse como una cuadrática y $n_1=g_e(t)$ como un polinomio lineal en $t \in \mathbb Z$ . Los datos mostrados tendrían índices de fila $t$ en el intervalo $t=-4..+4$ .
Podemos construir los polinomios en $t$ a partir de los valores de una columna con el rowindex tomado como $t$ en el intervalo $-4...4$ y puede entonces escribir $$ \begin{array} {} f_e(t) &= 4 \cdot 2^e \cdot t \cdot (t+1)-2 \cdot t+2^e-1 \\ g_e(t) &= 4 \cdot 2^e \cdot t+2 \cdot 2^e-1 \end{array} \tag 2$$
Una versión más fácil de memorizar es ésta:
$$ \begin{array} {} f_e(t) = 2^e \cdot (2 t +1)^2-(2 t+1) \\ g_e(t) = 2^e \cdot 2 \cdot (2 \cdot t+1 )-1 \end{array} \tag 3$$ y sustituyendo los valores de impar $2t+1$ por $u \in \mathbb Z $ \ $ 2 \mathbb Z $ da el aún más corto: $$ \begin{array} {} f_e(u) = u \cdot (2^e \cdot u-1) \\ g_e(u) = 2 \cdot (2^e \cdot u-1)+1 \end{array} \tag 4$$
Para demostrar la igualdad según (1) basta con ampliarla e insertarla en la ecuación (1): $$ 4 \cdot 2^e \cdot f_e(u) = g_e(u)^2 - 1 \tag 5$$ Encontramos la igualdad en unos pocos pasos.
Relación con los comentarios de Sil y EricSnyder y el análisis de @WillJagy: en la tabla el $4$ 'th y $5$ Las filas contienen los casos, donde $n_2 \lt \mid n_1 \mid $ que se ha problematizado por la respuesta de Will Jagy; su notación $(2^k,x,y)$ allí está mi anotación $(4 \cdot 2^e,n_1,n_2)$ aquí.
Actualización : Esta idea parece permitir proceder a una prueba, que hay sólo un número finito de otras órbitas hacia el cero que la de $n_1=2^k \pm 1$ con $k>2$ (o $4 \cdot 2^e$ con $e>0$ ), y que no hay ciclos y que, por tanto, todas las demás órbitas divergen infinitamente.
Los dos tipos críticos de $n_1$ se producen regularmente en la fila $t=-1$ y $t=0$ , por lo que sólo tenemos que encontrar $n_1$ donde el relacionado $n_2$ tiene la forma $2^k \pm 1$ en las otras filas $t<-1 $ o $t>0$ que iteraría entonces a las filas centrales y por lo tanto a cero.
(a): Búsqueda del rectángulo $(t,e)=(-800...800,1..31)$ sólo encontramos tres soluciones: $$ (t,e,n_1,n_2) \in \{ (1,2,23,33), (-23,1,-181,4095), (1,1,11,15) \} \tag 6$$ así que $n_1=11$ , $n_1=23$ y $n_1=181$ iterar hacia el cero.
(b): Ahora bien, podría ocurrir que el $n_1$ valores $(23),(181),(11)$ se producen como $n_2$ valores en otro lugar, con otros tres valores $n_1$ y por lo tanto son ellos mismos iterados.
Pero esto no ocurre, y afortunadamente sólo necesitamos un espacio de búsqueda finito para demostrarlo: utilizando la ordenación de los $n_2$ en una columna y a lo largo de la filas.
Así que si pudiéramos demostrar, que efectivamente los tres casos (a) son los únicos, tendríamos resuelto el problema de la OP. Me parece que una prueba del estilo de "A. Baker" podría ser posible para limitar el espacio de búsqueda a un rectángulo finito, pero no tengo mucha experiencia para hacerlo por mi cuenta, al menos por el momento. Pero hay resultados sobre la distancia de los cuadrados y las potencias de $2$ disponible, así que tal vez sólo tengamos que referirnos a uno de esos resultados.
Véase, por ejemplo este pregunta reciente en MSE y especialmente la de Mike Bennet respuesta .
Actualización2: Prueba para (eq.6)
El caso es efectivamente solucionable; hay un artículo de Laszlo Szalai, 2001 que trata una forma ligeramente generalizada de la cuestión, de la que por
- Teorema1 (Szalay) "si los enteros positivos n,m, y x con $n \gt m$ satisfacer $$2^{n-m} + 1 = {x^2-1\over 2^m} $$ entonces (...se omiten los casos no interesantes...) (iii) $(n,m,x) \in \{(5,4,7),(9,4,23) \}$ ." El caso $x=23$ es exactamente que los casos en los que $x$ es pas de la forma $2^k - 1$ y sin embargo $f_e(x)$ es de esa forma y por lo tanto $x$ puede iterar hacia cero.
- Teorema2 (Szalay) "si los enteros positivos n,m, y x con $n \gt m$ satisfacer $$2^{n-m} - 1 = {x^2-1\over 2^m} $$ entonces (...se omiten los casos no interesantes...) (iii) $(n,m,x) \in \{(5,3,5),(7,3,11),(15,3,181) \}$ ." Los casos $x=11$ y $x=181$ son exactamente los casos en los que $x$ es pas de la forma $2^k + 1$ y sin embargo $f_e(x)$ es de esa forma y, por tanto, tanto $x$ puede iterar hacia cero.
Así: tenemos la prueba, que
- los tres casos encontrados en (eq 6) $$ (t,e,n_1,n_2) \in \{ (1,2,23,33), (-23,1,-181,4095), (1,1,11,15) \} $$ son las únicas soluciones que no están en las filas $4$ y $5$ ( $t=-1$ o $t=0$ ) en la tabla anterior, que iteran hacia el cero.
- Desde todo otros casos que no están en las filas $4$ y $5$ ( $t=-1$ o $t=0$ ) aumentan en una iteración, todos los demás casos deben divergir hasta el infinito.
Szalay, László: Las ecuaciones $2^N \pm 2^M \pm 2^L = z^2 $ , Indag. Mathem. N.S., 131-142, 2002. Véanse los enlaces descargables en los comentarios/respuestas de mi pregunta anterior en MO
Actualización3: Dato curioso sobre la iteración de $a_1=13$ . La parte fraccionaria del doble logaritmo a base 2 parece converger a algún límite. Véase el protocolo de la primera 30 iteraciones (sólo pasos impar):
k log_2(log_2(a_k))
-----------------------
[1, 1.88769671439]
[2, 2.13498231840]
[3, 2.53140883896]
[4, 2.91881409881]
[5, 3.59984673966]
[6, 4.26670326276]
[7, 5.02226916018]
[8, 5.95409288384]
[9, 6.88253436364]
[10, 7.85787043544]
[11, 8.84851166124]
[12, 9.84223857933]
[13, 10.8390917800]
[14, 11.8379099584]
[15, 12.8371215392]
[16, 13.8367271679]
[17, 14.8365299418]
[18, 15.8364559751]
[19, 16.8364066619]
[20, 17.8363820046]
[21, 18.8363727580]
[22, 19.8363681347]
[23, 20.8363658230]
[24, 21.8363635114]
[25, 22.8363627408]
[26, 23.8363623555]
[27, 24.8363622111]
[28, 25.8363621147]
[29, 26.8363620786]
[30, 27.8363620606]
No se ha podido continuar debido a la longitud de los dígitos de los enteros ocurridos $a_k$ con memoria finita... Definición de $$b=2^{2^{0.836362060564583494096400006341-3}} \approx 1.1673140482117283628568828285728 ...$$ entonces parece que obtenemos una aproximación $a_k \to b^{2^k}$ en función de la precisión creciente de $b$ en el
