No sé cómo define su libro el anillo de fracciones, pero el a la derecha (es decir, la forma más general posible) de hacer las cosas con anillos de fracciones es esta :
Si $M$ es un $R$ -módulo y $1 \in D \subseteq R$ es un subconjunto de $R$ que es multiplicativamente cerrado, entonces definimos $D^{-1} R$ como sigue. Definir la siguiente relación de equivalencia sobre $D \times M$ : $(d_1, m_1) \sim (d_2, m_2)$ si existe $d \in D$ tal que $d(d_1 m_2 - d_2 m_1) = 0$ . Se puede comprobar que esto define una clase de equivalencia sobre $D \times M$ (los detalles están bien para resolver, nada difícil), y en el caso de que $M = R$ y $R$ es un dominio integral, se puede eliminar la condición "existe un $d \in D$ tal que" porque no es necesario.
Definir la adición como habitual sobre $D^{-1} M$ Esto hace que $D^{-1}M$ en un grupo abeliano. En particular, dado que $R$ es un $R$ -sobre sí mismo, podemos definir $D^{-1}R$ . Considerando el caso particular de $D^{-1}R$ solo en primer lugar, podemos definir la multiplicación como $\frac{r_1}{d_1} \frac{r_2}{d_2} = \frac{r_1 r_2}{d_1 d_2}$ . Esto hace que $D^{-1}R$ en un anillo, por lo que ahora podemos decir que la multiplicación escalar $\frac{r}{d} \frac{m}{d'} = \frac{rm}{dd'}$ hace $D^{-1}M$ en un $D^{-1}R$ -módulo.
(He utilizado la letra $D$ porque significa denominadores. La letra $S$ probablemente sólo se utiliza por el alfabeto...)
En este tipo de generalidades, si se quiere hacer $D^{-1}R$ en un dominio integral, hay que hacer algunas suposiciones sobre $D$ . Por ejemplo,
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Tenga en cuenta que el conjunto $D$ de todos los no zerodivisores es un subconjunto cerrado multiplicativo de $R$ que contiene $1$ . Esto significa que si $\frac a1 = \frac b1$ existe $d \in D$ tal que $d(a-b) = 0$ pero $d$ no es un divisor de cero, entonces $a-b =0$ y $a=b$ De ahí la observación de que $f$ es un monomorfismo en este caso. Si $D$ contiene un divisor cero, se puede tener alguna fracción $\frac r1 = \frac 01$ sin tener $r=0$ porque esta ecuación sólo significa que existe $d \in D$ tal que $rd = 0$ . La clase de equivalencia de $\frac 01$ contiene precisamente esos $r \in R$ que son divisores de cero.
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En un dominio integral, no hay divisores de cero, así que por la observación anterior el mapa $f$ es una incrustación de $R$ en su campo cociente $D^{-1}R$ (donde $D$ es el conjunto de elementos no nulos, que es también el conjunto de divisores no nulos en este caso). Nótese que $D^{-1}R$ es un campo porque una fracción $\frac rd$ nunca es equivalente a $\frac 0{d'}$ para algunos $d'$ por lo que podemos tomar su inversa como $\frac dr$ .
Espero que esto ayude. Siéntase libre de hacer cualquier pregunta sobre los detalles.
