Yo estaba jugando con el Sierpinski alfombras (ver bastante de la GPU, imagen, producida aquí), y vino para arriba con una variación que he sido incapaz de encontrar menciona en otra parte. Me pregunto si alguien me puede decir un nombre existente para ella, y me ayude a determinar dónde encaja dentro de las clasificaciones existentes de los fractales.
Como usted probablemente sabe,
La construcción de la Sierpinski la alfombra comienza con un cuadrado. El la plaza se corta en 9 congruentes subsquares en una de 3-por-3 de la cuadrícula, y el [abrir] central subsquare es eliminado. El mismo procedimiento se aplica de forma recursiva a los 8 restantes subsquares, ad infinitum.
En esta variación, en lugar de limitarse a la eliminación de la central subsquare, nos recursivamente aplicar el mismo procedimiento a que "a la inversa." (Hay mejor término para que?) Es decir, tratamos el agujero central como si queremos reemplazarlo con el complemento de [esta variante de] una alfombra de Sierpinski.
Así que cuando se recurre en el agujero central, ponemos un "anti-hole" (como un "donut hole" sin un donut) en el medio de ella. Vamos, a continuación, repetir el anti-taladro utilizando el normal (positivo) procedimiento, y se repiten en el 8 subsquares que rodea el anti-taladro utilizando el procedimiento inverso.
Se ve algo como esto, en su 5ª iteración:
Si crees que debería publicar el código para esto, estoy feliz, pero yo no creo que fue muy relevante para la pregunta de matemática.
He estado llamando "Sierpinski mantel", ya que no pude encontrar otro nombre para eso, y porque me recuerda a un cordón o mantel de ganchillo de diseño.
Corrección: @Rahul señaló que "la limitación de conjunto del proceso recursivo no existe." Esto es debido a que el punto central de la plaza de la unidad debe ser parte de el mantel y su complemento, o ninguno de los dos - lo cual es imposible. (Por supuesto, todavía podemos hacer finito de iteraciones del proceso constructivo sin golpear una contradicción.)
Para solucionar este problema, he intentado propone que se defina el mantel conjunto T (arbitrariamente) para incluir el punto central. La central subsquare se sustituye con la unión del punto central con la escala de complemento de T. Como antes, la subsquares alrededor del centro son reemplazados con escala copias de T (y, por tanto, el punto central de cada uno de los subsquares está contenida en T).
Otra actualización: por Desgracia el mismo problema sucede con cualquier punto con una irracional de coordenadas, y de muchos racional. Si expresamos las coordenadas en la base 3, como con el conjunto de Cantor, un punto es un miembro de T si el número de 1's en la base 3 de la expansión de cada una de sus coordenadas es aún. Pero esto no funciona para los números con la repetición de 1.
Si tratamos de solucionar este problema, haciendo que todos los "puntos problemáticos" pertenecen a T, nos gustaría que nos dejó con "casi" una unidad sólida de la plaza, menos un "polvo" de puntos racionales con un número par de 1's en su base-3 coordinar las expansiones. Entonces T dejaría de generar interesantes fractal de imágenes (en el límite). Su área sería de 1, como el irrationals$^2$. No es claro para mí que T sería diferente de la del conjunto de la irrationals$^2$ en cualquier forma interesante.
La mente, aún podemos obtener imágenes de la n-ésima iteración del mantel que son divertidos para mirar, pero se pierde una buena parte de su mordida, si no existe como un fractal.
Puede usted pensar en una manera de salvar el mantel de la extinción como un fractal?
El resto de esta pregunta fue escrito bajo la idea errónea de que el mantel existe (es un conjunto bien definido) en el límite.
Dimensión Fractal
La tradicional alfombra tiene la dimensión de Hausdorff
$log(8)/log(3) = ~1.8928$
deriva del hecho de que lleva 8 auto-similar copias en factor de reducción de 1/3 de la cubierta (ver ejemplo de triángulo de Sierpinski). En este sentido me figura que el mantel tarda 9 auto-similar copias en factor de reducción de 1/3 de la cubierta en sí (no se copia más pequeña cubrirá el medio de mini-cuadrado), por lo que tendría dimensión de Hausdorff
$log(9)/log(3) = 2$
Esto pondría en la misma empresa (en términos de dimensión de Hausdorff) como el espacio de llenado curva como la de la curva de Sierpinski, Hilbert, Peano, etc. ¿Es esto razonable?
No estoy muy cómodo con el que, a pesar de que, debido a un 1/3-tamaño de la copia del mantel en realidad no cubren la totalidad del medio subsquare. De hecho no veo cómo cualquier cantidad finita de tamaño reducido copias del mantel cubriría todo el medio subsquare. Y si decimos que necesitamos un número infinito, la dimensión de Hausdorff sería infinito. :-(
Como una alternativa, he considerado multifractals, ya que parecen tener diferente comportamiento de la escala que ocurren en diferentes partes del atractor. Pero eso es agua más profunda de lo que estoy preparado para meterse en.
- Puede alguien me apunte a la literatura en fractales que se definen mediante complementos de tamaño reducido auto-similares juegos (así como la habitual de tamaño reducido auto-similares conjuntos)? Es que una clase de fractales que ha sido estudiado? (Actualización:) O son tales "fractales" condenada estar mal definidos (contradictorio) por su naturaleza?
De manera similar a la dimensión de Hausdorff, el cuadro de conteo de dimensión (utilizando el criterio "si el espacio se divide en una cuadrícula de cuadros de tamaño ε, ¿cuántas cajas de escala que iba a contener una parte de la atractor?") también parece terminan en 2, por las mismas razones. Y me siento más cómodo con él, porque un "cuadro" (en lugar de una copia reducida del mantel) de hecho cubren la totalidad del medio subsquare. Parece claro que en el límite, la caja de conteo de dimensión converge a 2, porque no hay huecos, por lo que cada cuadro, cualquiera que sea el tamaño de la ε, siempre contendrá parte del fractal.
En términos de área (estándar de la medida de Lebesgue), estoy bastante seguro de que el mantel tiene cero, como la alfombra, porque no tiene intervalos (rectángulos) que están completamente en el conjunto. A la derecha? (Actualización: acepto la corrección: el mantel parece área de 1/2.)
Resumen
Hay varias preguntas anteriores, así que para atar todo junto: me pregunto si este mantel variante es algo nuevo e interesante, o algo bien conocido, o desconocido pero trivial variante que se pueden clasificar según las categorías existentes. E. g. si hay una variante del conjunto de Cantor , que se define de forma similar a la de mantel (de una dimensión), te agradecería un enlace a la info acerca de eso.
(Actualización:) Una cosa que me parece interesante para mí es que tiene puntos en cada intervalo de la unidad de la plaza, pero también tiene agujeros en cada intervalo. Supongo que es como los números racionales en [0,1] en ese sentido, o como el espacio en el llenado de las curvas de árboles, sin embargo, no es una curva o un árbol (no conectado). No puedo pensar en otros fractales de mano que son así, puede usted? Parece que esta propiedad está relacionada con el hecho de que se recurre a la inversa, en lugar de dejar agujeros.
P. S. acabo de leer sobre el término mutuamente densa (Interleaving Ad Infinitum): 'Si un conjunto S con lineal de pedido O se puede dividir en dos subconjuntos A y B tales que entre cada dos elementos distintos de a es Un elemento de B, y viceversa, entonces los conjuntos a y B se dice que son "mutuamente denso".' Así que el mantel y su complemento son mutuamente densa, suponiendo que este término puede ser generalizado a la unidad de la plaza. Al menos en horizontal o vertical lineal de la rebanada de la unidad de la plaza, son mutuamente densa.
