Grupo fundamental de una región hexagonal con identificaciones

Question

Estoy estudiando para los exámenes y me encontré con este problema

Mi intento

Voy a usar a van Kampen. Etiqueta el borde horizontal inferior $c$ y el borde diagonal inferior derecho $d$ . Para nuestros conjuntos abiertos conectados por el camino voy a elegir $U$ para ser un disco abierto en el interior $Y$ y $V$ para ser $Y$ menos un punto dentro de $U$ . $U,V, U \cap V$ son todas las trayectorias conectadas, siendo esta última un círculo alrededor del punto.

Cálculo de los grupos fundamentales:

$\pi_1(U)$ es trivial, ya que $U$ es un disco abierto, por lo que es contraíble.

$\pi_1(U\cap V) \cong \mathbb{Z} = \langle b| \emptyset \rangle$ a medida que la deformación del anillo se retrae a $S^1$ .

Pregunta: ¿Cómo puedo encontrar el Grupo Fundamental de $V$ ? Sé que $V$ La deformación se retrae sólo a la frontera de este hexágono, por lo que sólo los vértices y aristas, pero no puedo averiguar cuál es el Grupo Fundamental de esta frontera.

Una vez que tenga esto el problema debería ser sencillo: Usando van Kampen $$\pi_1(Y) \cong \langle \text{generators of $ \pi_1(V) $}| \text{relations of $ \pi_1(V) $}, i_1(b) = i_2(b) \rangle$$ Donde $$i_1:\pi_1(U\cap V) \rightarrow \pi_1(U)$$ $$i_2:\pi_1(U\cap V) \rightarrow \pi_1(V)$$ $i_1$ es el mapa trivial, por lo que el generador de $\pi_1(U\cap V)$ se envía a 1.

Basándome en los problemas anteriores de Van Kampen, creo que $i_2: r\mapsto cdb^{-1}aab^{-1}$ donde el generador del $\pi_1(U\cap V)$ que da una vuelta al círculo en la intersección, sino que da una vuelta al límite del hexágono. Esto puede leerse simplemente a partir de la identificación del límite. En cuyo caso obtendría

$$\pi_1(Y) \cong \langle \text{generators of $ \pi_1(V) $}| \text{relations of $ \pi_1(V) $}, cdb^{-1}aab^{-1} =1 \rangle$$

Sólo queda encontrar los generadores y las relaciones de $\pi_1(V)$ pero estoy atascado.

Answer 1

¡Tienes exactamente la idea correcta! Sabemos que el grupo fundamental de su figura va a ser

$$\langle \text{generators of $ \pi_1(V) $} \mid \text{relations of $ \pi_1(V) $}, cdb^{-1}aab^{-1} \rangle$$

Así que lo que queremos hacer ahora es calcular $\pi_1(V)$ . Para esto (como para todos los problemas de topología), una imagen es la herramienta más importante que tenemos. Vamos a etiquetar nuestro hexágono y sus vértices:

Ahora. Sabemos que estamos identificando el $b$ bordes. Así que sus puntos finales también deben ser los mismos. Esto nos dice que, en realidad, $v_3 = v_0$ (ya que ambos son el "reverso" de $b$ ) y $v_2 = v_5$ (ya que ambos son el "frente"). De forma análoga, podemos identificar los frentes y los reversos de los $a$ bordes. Esto nos dice que $v_3 = v_4$ y que $v_4 = v_5$ . Juntando estas igualdades, encontramos que en realidad $v_0 = v_2 = v_3 = v_4 = v_5$ ¡!

Así que podemos averiguar cómo es nuestro gráfico dibujando cada uno de estos vértices repetidos exactamente una vez. Esto da:

Pero ahora es fácil leer el grupo fundamental de esta imagen. Si tomamos $v_{0,2,3,4,5}$ como punto de partida, encontramos

$$\pi_1(V) = \langle a,b, cd \rangle$$

es el grupo libre $F_3$ (lo que no es sorprendente, ya que el grupo fundamental de cada El gráfico es gratuito. ¿Ves por qué?).

Así que ahora encontramos nuestra respuesta final (escribiendo $x$ para $cd$ ):

$$\pi_1(Y) = \langle a,b,x \mid xb^{-1}aab^{-1} \rangle$$

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Espero que esto ayude ^_^