Apoyo a los planes

Question

Tengo una pregunta sobre el uso confuso del término "soporte de esquemas" en el lema 2.3.41 en "Geometría Algebraica" de Liu (página 53):

Sé que el "soporte de una gavilla $F$ en un esquema $X$ "se define generalmente como el subconjunto $S$ de $X$ de manera que para cada $x \in S$ tenemos para el tallo $F_x \neq 0$ . Por qué es compatible esta definición con la definición por encima de la línea roja (aquí para el subesquema cerrado de $\mathbb{P}_A ^n$ soporte $=$ espacio topol. subyacente)?

Answer 1

Dejemos que $X$ sea un esquema, y que $i:Z \rightarrow X$ sea un subesquema cerrado. Esto implica varias cosas: $Z$ es un esquema cuyo espacio topológico subyacente es un subconjunto cerrado de $X$ y $i$ es un morfismo de esquemas tal que $i^{\#}: \mathcal O_X \rightarrow i_{\ast} \mathcal O_Z$ es suryente como un morfismo de las láminas en $X$ .

En sus notas, el soporte de este subesquema cerrado significa el espacio subyacente de $Z$ (Seguiré la convención e identificaré $Z$ con su espacio subyacente). Y si $F$ es un haz de grupos abelianos sobre $X$ El apoyo de $F$ se define como el conjunto de $x \in X$ tal que $F_x \neq 0$ .

La conexión entre estas dos nociones de apoyo es la siguiente: $Z$ es exactamente el soporte de la gavilla $i^{\ast} \mathcal O_Z$ .

Si $x \in Z$ entonces $(i_{\ast} \mathcal O_Z)_x$ es el límite directo de los anillos $\mathcal O_Z(V \cap Z)$ , donde $V$ recorre el conjunto de conjuntos abiertos en $X$ que contiene $x$ ordenados por inclusión inversa. Pero entonces $V \cap Z$ pasa por el límite directo de los conjuntos abiertos en $Z$ que contiene $x$ , así que esto es sólo $\mathcal O_{Z,x} \neq 0$ .

Si $x \not\in Z$ Entonces, como $X - Z$ es abierto, podemos reducir el sistema directo de vecindades abiertas de $x$ para incluir sólo los contenidos en $X - Z$ y obtener el mismo límite directo. Pero para cada una de estas vecindades abiertas $V$ tenemos $\mathcal O_Z(V \cap Z) = \mathcal O_Z(\emptyset) = 0$ .