Me encontré con la siguiente integral con constantes positivas $a$ y $b$ \begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left( x - a\mathrm{e}^{bx} \right) dx. \end{equation} pero no fui capaz de calcularla... de alguna manera me recordó a la distribución de Gumbel, pero fallé horriblemente. Me preguntaba si alguien tiene una pista para mí cómo calcularlo.
Respuesta
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Suponiendo que $a,b>0$ , estableciendo $x=\log t$ , entonces al establecer $t=u^{1/b}$ y recordando la definición del $\Gamma$ obtenemos: $$\begin{eqnarray*}I(a,b)=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{x-a e^{bx}}\,dx = \int_{0}^{+\infty}\exp\left(-a t^b\right)\,dt=\color{red}{a^{-1/b}\cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{b}\right)}.\end{eqnarray*}$$
