Evaluación Integral $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos (ax)}{\pi (1+x^2)}dx$

Question

Posibles Duplicados:
El cálculo de la integral de la $\int_{0}^{\infty} \frac{\cos x}{1+x^2}\mathrm{d}x$ sin el uso de análisis complejo

Necesito ayuda para evaluar la integral de

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos (ax)}{\pi (1+x^2)}dx$$ where $un$ is a real number. I know the answer is $e^{-|a|}$.

Creo que el contorno de integración puede hacer el trabajo mediante la evaluación de las $e^{iaz}/(z^2+1)$ pero no recuerdo los detalles de análisis complejo en la universidad.

Mi pregunta es "¿hay una manera de calcular esta integración SIN utilizar complejos método de análisis?" Por ejemplo, por el cambio de las variables de la función trigonométrica, la integración por parte, o algo así.

Answer 1

Deje $\displaystyle f(a) = \int_{0}^{\infty}\frac{\cos(ax)}{1+x^2}\;{dx}$. Considere la posibilidad de la transformada de Laplace de $f(a)$.

$$\begin{aligned}\mathcal{L}(f(a)) & = \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\frac{\cos(ax)}{1+x^2}e^{-as}\;{da}\;{dx} \\&= \int_{0}^{\infty}\frac{s}{(1+x^2)(s^2+x^2)}\;{dx} \\& = \frac{\pi}{2(s+1)}.\end{aligned}$$

Por lo tanto $\displaystyle f(a) =\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{\pi}{2(s+1)}\right) =\frac{\pi}{2}e^{-|a|}$ y su integral es $\displaystyle \frac{2}{\pi}f(a) = e^{-|a|}.$

Answer 2

Escribir la integral como

$$\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} dx \: \frac{\exp (i a x)}{ (1+x^2)}$$

que aún es real, debido a que la parte imaginaria desaparece durante el intervalo simétrico. Ahora considere el siguiente complejo integral

$$\int_{C} dz \: \frac{\exp (i a z)}{ (1+z^2)}$$

donde $C$ es el siguiente contorno de $a > 0$:

El valor de esta integral es igual a $i 2 \pi$ veces la suma de los residuos de los polos de el integrando dentro de $C$. Estos polos son en $z = \pm i$, y los residuos de el integrando en estos polos son

$$\mathrm{Res}_{z=\pm i} \frac{\exp (i a z)}{ (1+z^2)} = \pm \frac{\exp{(\mp a)}}{i 2}$$

Para el contorno $C$, sólo el residuo de a $z=i$ está en el interior, por lo que el valor de la integral es

$$\int_{C} dz \: \frac{\exp (i a z)}{ (1+z^2)} = i 2 \pi \frac{\exp{(-a)}}{i 2} = \pi \exp{(-a)}$$

Esta integral también puede ser expresado en términos de la integral sobre los dos componentes individuales de contorno $C$:

$$\int_{C} dz \: \frac{\exp (i a z)}{ (1+z^2)} = \int_{-R}^{R} dx \: \frac{\exp (i a x)}{ (1+x^2)} + i R \int_{0}^{\pi} d \phi \: \exp{(i \phi)} \frac{\exp (i a R \exp{(i \phi)})}{ (1+R^2 \exp{(i 2 \phi)})}$$

donde $R$ es la medida de $C$ a lo largo de la $\Re{z}$ eje. Tenga en cuenta que la segunda integral en el lado derecho de los resultados de una sustitución de $z = R \exp{(i \phi)}$ y corresponde a la integral a lo largo del semicírculo. Tomamos el límite de $R \rightarrow \infty$. Tenga en cuenta que la primera integral se convierte en la integral que queremos, y queremos mostrar que la segunda integral se desvanece en este límite. De hecho, resulta que

$$\left | i R \int_{0}^{\pi} d \phi \: \exp{(i \phi)} \frac{\exp (i a R \exp{(i \phi)})}{ (1+R^2 \exp{(i 2 \phi)})} \right | \approx \frac{1}{R} \int_{0}^{\pi} d \phi \: \exp{(-a R \cos{\phi})}, \: \: (R \rightarrow \infty)$$

que sólo converge al $a>0$; para este caso, la integral se desvanece como $R \rightarrow \infty$, y podemos decir:

$$\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} dx \: \frac{\exp (i a x)}{ (1+x^2)} = \exp{(-a)} , \: \: a>0$$

Al $a<0$, podemos voltear el contorno sobre el $\Re{z}$ eje y el uso de la pole en $z=-i$ para el residuo. En este caso, nos encontramos con que

$$\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} dx \: \frac{\exp (i a x)}{ (1+x^2)} = \exp{(a)} , \: \: a<0$$

La combinación de estos resultados y volver a la original expresión integral, obtenemos el resultado buscado:

$$\int_{-\infty}^{\infty} dx \: \frac{\cos(a x)}{\pi (1+x^2)} = \exp({-|a|)}$$