¿Cuál es la dimensión de Krull de un anillo polinómico sobre un EPI?

Question

Recientemente, he comprobado esta afirmación:

Propuesta: Dejemos que $R$ sea un PID. Los ideales primos de $R[y]$ son precisamente los ideales de la siguiente forma:

1. $(0)$ ,
2. $(f(y))$ donde $f$ es un polinomio irreducible en $R[Y]$
3. $(p, f(y))$ donde $p \in R$ es primo y $f(y)$ es irreducible en $R[y]$ y su imagen es irreducible en $(R/p)[y]$ .

Nota: Los ideales máximos son de la tercera forma y viceversa.

Utilizando esta afirmación me gustaría demostrar que la dimensión de Krull de $k[x,y]$ es 2 donde $k$ es un campo. Sin embargo, estoy atascado en demostrar que no puede haber una cadena de ideales primos de la forma $\{0\}\subsetneq (f)\subsetneq (p,g)$ es decir, una cadena que incluya todos los ideales de los tipos indicados anteriormente.

¿Alguna idea? En el caso de que R sea un PID general, ¿la dimensión de Krull sería 2 o 3?

Answer 1

Todo PID que no sea un campo tiene dimensión de Krull $1$ . Además, todo PID es noetheriano, y si $R$ es noetheriano y su dimensión de Krull es $n$ entonces $R[x]$ tiene la dimensión de Krull $n+1$ . Por lo tanto, la respuesta a su pregunta es que esa dimensión de Krull de $R[y]$ es $2$ .