Existencia de una secuencia racional tal que un polinomio se divide sobre $\Bbb{Q}$

Question

¿Existe una secuencia $(a_n)_{n\in \Bbb{N}}$ de racionales tal que para todo $n\in \Bbb{N}$ , $a_n\neq 0$ y el polinomio $a_0+a_1X+\cdots+a_nX^n$ se divide en $\Bbb{Q}$ ?

Esta pregunta me la hice yo mismo pero no consigo encontrar una solución, ¿alguien tiene alguna idea por favor?

Answer 1

Se pueden definir recursivamente los coeficientes para que $$ p_n(x) = a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n $$ tiene una raíz en $x=n$ por ejemplo: $$ a_n = -\frac{1}{n^n}\sum_{j=0}^{n-1}a_j\, n^j.$$ Si quieres decir que cada $p_n(x)$ debe completamente dividir en $\mathbb{Q}$ para una secuencia con infinitos términos distintos de cero, se cree que no hay ninguna posibilidad, pero la cuestión vinculada sigue abierta.