Idempotentes en un anillo local

Question

¿Es cierto que un anillo local, es decir, un anillo conmutativo con un único ideal máximo, no contiene elementos idempotentes $\neq 0, 1$ ? ¿Por qué?

¿Alguna pista?

Answer 1

Recuerda que en un anillo local $R$ el complemento del ideal máximo es el conjunto de elementos invertibles, $R^{*}=R-m$ .

La definición de ideal máximo implica la inclusión de $R^{*}\subset R-m$ . Si $x\in R-R^{*}$ entonces $(x)$ es diferente de $R$ y como $R$ tiene un único ideal maximal $m$ tenemos $x\in (x) \subset m$ . Por lo tanto, $R-R^{*}\subset m$ . Así, $R-m \subset R^{*}$ .

Utilizando este hecho toma $e$ un elemento idempotente, entonces $e^2=e$ . Por lo tanto, $e(e-1)=0 \in m$ implica que $e\in m$ o $e-1\in m$ .

• Si $e\in m$ entonces $e-1\in R-m=R^{*}$ y $e=0$ .
• Si $e-1\in m$ entonces $e\in R-m=R^{*}$ y $e=1$ .