Idempotentes en un anillo local

Question

¿Es cierto que un anillo local, es decir, un anillo conmutativo con un único ideal máximo, no contiene elementos idempotentes $\neq 0, 1$ ? ¿Por qué?

¿Alguna pista?

Answer 1

Si $e$ es un idempotente que no es $0,1$ entonces $e(e-1)=e^2-e=0$ muestra que tanto $e$ y $e-1$ son divisores de cero y, en particular, no son invertibles. Por lo tanto, deben estar en el ideal máximo, pero entonces $1=e-(e-1)$ también está en el ideal máximo - contradicción.

Answer 2

Dejemos que $e$ sea un idempotente no trivial. Entonces $eR\oplus (1-e)R=R$ es un desdoblamiento no trivial de $R$ en dos ideales propios. Pero ambos $eR$ y $(1-e)R$ están contenidas en el ideal máximo: ¿cómo podrían sumar $R$ ? Esto no muestra tal $e$ puede existir.

Esto funciona incluso para anillos locales no conmutativos.

Answer 3

Dejemos que $(R,\mathfrak m)$ sea un anillo local. Supongamos que $e \in R$ es tal que $e^2 = e$ . Si $e$ es una unidad, entonces $e = 1$ . Si $e$ no es una unidad, entonces $e \in m$ y por idempotencia $Re = e (Re)$ . Por lo tanto, $Re = \mathfrak m (Re)$ y por Nakayama $Re = 0$ lo que implica $e = 0$ .

Answer 4

Para todo idempotente $e\notin \{0,1\} $ , $e\in\mathrm{Jac}(R) $ así que $1-e$ es invertible. Entonces desde $e(1-e)=0$ concluimos que $e=0$ una contradicción.

Answer 5

Recordemos que también existe una caracterización elemental de los anillos locales, que no necesita el concepto de ideales (máximos): Un anillo $A$ es un anillo local si y sólo si $1 \neq 0$ en $A$ y, para cualquier $x, y \in A$ tal que $x+y$ es invertible en $A$ , $x$ o $y$ es invertible en $A$ (inclusive o). (Si no se teme al conjunto vacío, se puede expresar esto más sucintamente como: Un anillo es un anillo local si y sólo si, para cualquier suma finita que resulte ser invertible, al menos un sumando es invertible).

Con esta caracterización, la prueba de su afirmación es fácil: Supongamos $e^2 = e$ . Entonces $e (1-e) = 0$ . Desde $e + (1-e)$ es invertible, $e$ es invertible o $1-e$ es invertible. En el primer caso, se deduce que $1-e = 0$ . En el segundo caso, tenemos $e = 0$ .

(La caracterización elemental es crucial en la matemática constructiva, donde los ideales maximales no se comportan tan bien como en la matemática clásica).