Área delimitada por la curva $\lfloor |x''| \rfloor +\lfloor |y''| \rfloor = 2$

Question

El área delimitada por la curva $$\bigg\lfloor \frac{|x-1|}{|y-1|}\bigg\rfloor +\bigg\lfloor \frac{|y-1|}{|x-1|}\bigg\rfloor = 2\;,$$ Donde $-2 \leq x,y\leq 0$

$\bf{My\; Try::}$ Dejemos que $x-1=x'$ y $y-1 = y'\;,$ Entonces $$\bigg\lfloor \frac{|x'|}{|y'|}\bigg\rfloor+\bigg\lfloor \frac{|y'|}{|x'|}\bigg\rfloor = 2\Rightarrow \bigg\lfloor \left|\frac{x'}{y'}\right|\bigg\rfloor+\bigg\lfloor \left|\frac{y'}{x'}\right|\bigg\rfloor=2$$

Así que aquí $-3\leq x',y'\leq -1.$ Poner ahora $\displaystyle \frac{x'}{y'}=x''$ y $\displaystyle \frac{y'}{x'} = y''$ y aquí $\displaystyle \frac{1}{3}\leq x'',y''\leq 3$

Así que obtenemos $$\lfloor |x''| \rfloor +\lfloor |y''| \rfloor = 2$$

Es mi proceso correcto, si no es así entonces como puedo calcularlo, ayúdame

Gracias.

Answer 1

¿Es mi proceso correcto?

Creo que es correcto.

Podemos separarlo en casos como los siguientes : $$\left\lfloor\left|\frac{x-1}{y-1}\right|\right\rfloor+\left\lfloor\left|\frac{y-1}{x-1}\right|\right\rfloor=2$$

$$\iff \left(\left\lfloor\left|\frac{x-1}{y-1}\right|\right\rfloor,\left\lfloor\left|\frac{y-1}{x-1}\right|\right\rfloor\right)=(0,2),(1,1),(2,0)$$ ya que ambos $|(x-1)/(y-1)|$ y $|(y-1)/(x-1)|$ son positivos.

Caso 1 : $$\begin{align}&\left(\left\lfloor\left|\frac{x-1}{y-1}\right|\right\rfloor,\left\lfloor\left|\frac{y-1}{x-1}\right|\right\rfloor\right)=(0,2)\\&\iff 0\le\left|\frac{x-1}{y-1}\right|\lt 1\quad\text{and}\quad 2\le\left|\frac{y-1}{x-1}\right|\lt 3\\&\iff 0\le\left|\frac{x-1}{y-1}\right|\lt 1\quad\text{and}\quad \frac 13\lt\left|\frac{x-1}{y-1}\right|\le \frac 12\\&\iff \frac 13\lt\left|\frac{x-1}{y-1}\right|\le \frac 12\\&\iff \frac 13\lt\frac{x-1}{y-1}\le \frac 12\\&\iff \frac 13(y-1)\gt x-1\ge \frac 12(y-1)\\&\iff 3x-2\lt y\le 2x-1\end{align}$$

Caso 2 : $$\begin{align}&\left(\left\lfloor\left|\frac{x-1}{y-1}\right|\right\rfloor,\left\lfloor\left|\frac{y-1}{x-1}\right|\right\rfloor\right)=(1,1)\\&\iff 1\le\left|\frac{x-1}{y-1}\right|\lt 2\quad\text{and}\quad 1\le\left|\frac{y-1}{x-1}\right|\lt 2\\&\iff 1\le\left|\frac{x-1}{y-1}\right|\lt 2\quad\text{and}\quad \frac 12\lt\left|\frac{x-1}{y-1}\right|\le 1\\&\iff \left|\frac{x-1}{y-1}\right|=1\\&\iff \frac{x-1}{y-1}=1\\&\iff y=x\end{align}$$

Caso 3 : Por simetría en torno a $y=x$ , $$\begin{align}&\left(\left\lfloor\left|\frac{x-1}{y-1}\right|\right\rfloor,\left\lfloor\left|\frac{y-1}{x-1}\right|\right\rfloor\right)=(2,0)\\&\iff 3y-2\lt x\le 2y-1\\&\iff \frac 12x+\frac 12\le y\lt \frac 13x+\frac 23\end{align}$$

Por lo tanto, queremos encontrar el área de los siguientes dos triángulos en rojo.

$\qquad\qquad\qquad$

Por lo tanto, desde $A(-2,0),B(-2,-1/2),C(-1,0)$ la respuesta es $$2\times [\triangle{ABC}]=2\times\frac 12\times (-1-(-2))\times (0-(-1/2))=\color{red}{\frac 12}.$$