Inferir el número de términos de la suma, dado el valor de la misma

Question

Para preparar un concurso de matemáticas, el profesor de mi hermano pequeño le dio un bonito libro lleno de pequeños e interesantes ejercicios de matemáticas. Y cada vez que mi hermano se queda atascado, me pide ayuda y solemos resolver algo - la mayoría de las veces es una solución limpia y sin complicaciones, ya que este libro está hecho para alumnos de 10/9/8 grados. Pero hoy mi hermano me ha enseñado la siguiente tarea y me ha dicho que está realmente atascado:

Tienes $335$ números enteros positivos diferentes cuya suma es igual a $100000$ .

Q: ¿Cuál es el menor y mayor número requerido de sumandos de impar?

Cualquier tipo de ayuda o consejo será realmente apreciado.

Answer 1

La suma de $n$ impar summnds es al menos $1+3+5+\ldots +(2n-1)=n^2$ y se puede aumentar en pasos de $2$ de eso, es decir, a $n^2+2a$ para algunos $a\in \mathbb N_0$ .

La suma de $m$ números pares es al menos $2+4+6+\ldots +2m = m(m+1)$ y también se puede aumentar en pasos de $2$ es decir, a $m(m+1)+2b$ para algunos $b\in\mathbb N_0$ .

Con un total de $n+m=335$ sumandos, podemos así obtener cualquier suma $$n^2+(335-n)(336-n)+2(a+b)$$ es decir, cualquier número $S$ con $$S\ge 2n^2-671n+112560\qquad\text{and}\qquad S\equiv n\pmod 2.$$ Para $S=100000$ Por lo tanto, necesitamos $n=2k$ incluso y $$8k^2-1342k+112560\le 1000000.$$ Con la fórmula cuadrática deberías encontrar $9.949\ldots<k<157.8007\ldots$ es decir, el mínimo $n$ es $n=20$ el máximo es $n=314$ .

Answer 2

Si tenemos $n$ incluso y $m$ números Impares, entonces la suma de los números pares es al menos $2 + 4 + 6 + \ldots + 2n = n \times \frac{2n + 2}{2} = n^2 + n$ la suma de los números Impares es al menos $1 + 3 + ... + (2m - 1) = m \times \frac{2m - 1 + 1}{2} = m^2$ .

Si elegimos $n = 317$ la suma es al menos $101130$ . Si elegimos $n = 315$ , $m = 20$ la suma es al menos $99940$ . Podemos obtener una suma de $100000$ tomando la $317$ más pequeño incluso y el $20$ números Impares más pequeños, aumentando luego el mayor de estos números en $60$ . Al menos $20$ Se necesitan sumandos Impares.

Si tomamos $n = 19$ y $m = 316$ la suma es al menos $100236$ . Si elegimos $n = 21$ y $m = 314$ la suma es al menos $99058$ . Podemos obtener una suma de $100000$ tomando la $21$ más pequeño incluso y el $314$ números Impares más pequeños, aumentando luego el mayor de estos números en $942$ . Como máximo $314$ Los sumandos Impares son posibles.

Answer 3

Estoy de acuerdo en que este problema no parece muy sencillo, así que voy a intentar una solución más larga pero más sencilla.

Series aritméticas

Antes de empezar, necesitaremos una fórmula: la suma de todos los elementos de una secuencia aritmética, es decir, una secuencia de números igualmente espaciados. $$S_{a_{1}..a_{n}}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}$$ Que es una forma generalizada de la fórmula más conocida para obtener la suma de números naturales hasta un n dado. $$S_{1..n}=\frac{n(1+n)}{2}$$

Número mínimo de sumandos impar

Entre sus 335 números habrá algunos pares y otros Impares.

¿Podemos hacerlo sin los números de impar?

Si eligieras sólo los 335 números pares más pequeños, te encontrarías superando los 100000. Esto se debe a que has dejado fuera muchos números Impares pequeños (1, 3, 5, ...) que han sido sustituidos por números pares grandes (..., 666, 668, 670). La suma de todos los números pares del 2 al 670 es, en efecto, (a partir de la fórmula anterior) $$S_{even:2..670} = \frac{335 (2 + 670)}{2} = \frac{335 \cdot 672}{2} = 112560$$

¿Cómo nos aseguramos de que la suma no supere los 100.000?

Procederemos eliminando los números pares más grandes y añadiendo los números Impares más pequeños.
Quitamos 670 y añadimos 1, luego quitamos 668 y añadimos 3, hasta llegar a 100000 (o menos).
Después de repetir esto n veces, nuestro nuevo total será los primeros n números Impares ( $1, 3, 5, ..., 2n - 1$ ) y la primera $335-n$ números pares ( $2, 4, 6, ..., 2(335-n)$ ). La suma, para cada n, será $$S=\frac{n(1 + 2n - 1)}{2} + \frac{(335-n)[2 + 2(335-n)]}{2}=$$ $$=\frac{n(2n)}{2} + \frac{(335-n)2(1 + 335-n)}{2}=$$ $$=n^2 + (335 - n)(336 - n)=$$ $$=n^2 + n^2 - 335n - 336n +335\cdot336=$$ $$=2n^2 - 671n + 112560\leq100000$$ (tenga en cuenta que si pone 0 números impar, n es 0 y su total es 112560, como arriba)
Si se resuelve la desigualdad anterior, se obtiene $n\geq20$ (siendo n un número entero positivo).
Precisamente, con sólo 19 pasos tendrías un total de 100533, y con el 20 llegarías a 99940. Añade 60 a tu mayor impar o número par (para asegurarte de que no tienes duplicados), y estarás exactamente en 100000.

Número máximo de sumandos impar

Si realmente resolvieras la desigualdad anterior, verías que sale otro número. La solución completa (entera) es $20 \leq n \leq 315$ .
Esto significa que si sigues repitiendo el paso de quitar un número par grande, y añadir el siguiente número impar, llegarías al caso contrario de muy pocos números pares, y tu suma volvería a superar los 100000. Lo que te da la cantidad máxima de números Impares es 315.

Todavía no estoy convencido

Si el paso anterior te confunde de alguna manera, lo que puedes hacer es invertir los números pares e Impares anteriores, y repetir la solución anterior. Ahora tienes que encontrar la cantidad mínima de números pares para introducir en una suma de todos los Impares que de otra manera sería demasiado grande.
Los primeros n números pares serían ( $2, 4, 6, ..., 2n$ ) y la primera $335-n$ Los números Impares serían ( $1, 3, 5, ..., 2(335-n)-1$ ).
La ecuación sería entonces $$S=\frac{n(2 + 2n)}{2} + \frac{(335-n)[1 + 2(335-n)-1]}{2}=$$ $$=n(1 + n) + (335-n)(335-n)=$$ $$=2n^2 -669n + 112225\leq100000$$ Resuelve lo anterior y obtienes... $n\geq20$ de nuevo. Te lo dije.
Durante 19 pasos esta vez se alcanzaría un total de 100236, mientras que en el 20º paso se llegaría al seguro 99645. Vuelve a sumar 355 a uno de los números más grandes, y tendrías tu 100000. Si debe tener al menos 20 números pares, puede tener como máximo $335-20=315$ Números de impar.

Resumen

Si pone demasiados números Impares o pares, su suma de números distintos será mayor que 100000, porque simplemente se quedaría sin números suficientemente pequeños.
La cantidad de números pares e Impares puede estar desequilibrada, pero incluso las distribuciones de números más desequilibradas (que acabamos de encontrar) tendrían al menos 20 números pares y 20 Impares.