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Considere $3$ números reales positivos $a,b,c$ Demuestre que no pueden existir dos enteros positivos distintos $m$ y $n$ de manera que ambos...

Considere $3$ números reales positivos $a,b,c$ Demuestre que no pueden existir dos enteros positivos distintos $m$ y $n$ de manera que ambos $a^m+b^m=c^m$ y $a^n+b^n=c^n$
Mi trabajo:
$a^m+b^m=c^m$
$(a^m+b^m)c^{n-m}=c^n$
Así que, ahora tenemos,
$(a^m+b^m)c^{n-m}=(a^n+b^n)$
Ahora, no puedo hacer nada. Por favor, ayúdenme.

5voto

Hagen von Eitzen Puntos 171160

Si $a^m+b^m=c^m$ entonces claramente $a<c$ y $b<c$ . Ahora bien, si $n>m$ esto implica $c^{n-m}>a^{n-m}$ y $c^{n-m}>b^{n-m}$ Por lo tanto $$c^n= c^{n-m}c^m=c^{n-m}a^m+c^{n-m}b^m>a^{n-m}a^m+b^{n-m}b^m=a^n+b^n.$$

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