Máximo de $(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)$

Question

Dejemos que $a,b,c,d\ge 0$ satisfacer $a+b+c+d=4$ . Encuentre el valor máximo de $(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)$ .

Cuando todas las variables son $1$ el valor es $8$ . Utilizando la desigualdad AM-GM se obtiene $$(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)\leq\left(\frac{ab+cd+ac+bd+ad+bc}{3}\right)^3.$$ ¿Podemos acotar el lado derecho en términos de $a+b+c+d$ ?

Answer 1

Tenemos $$ab+ac+ad+bc+bd+cd=\frac12\bigl((a+b+c+d)^2-(a^2+b^2+c^2+d^2)\bigr) $$ y para $a+b+c+d=4$ tenemos $a^2+b^2+c^2+d^2\ge4$ (¿por qué?) para que $$ab+ac+ad+bc+bd+cd\le\frac{16-4}{2}= 6 $$ y de hecho obtienes $\le 8$ para la desigualdad original.