Dejemos que $A$ sea una categoría, $\hat A$ sea la categoría de preformas sobre $A$ . Entonces, ¿cómo sabemos ${\rm Hom}_{\hat A}(X,Y)$ es lo suficientemente pequeño como para ser un conjunto? Para presheaves $X,Y$ (funtores), morfismos (transformaciones naturales) entre $X$ y $Y$ ¿formar un conjunto?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Un hecho interesante es que una categoría $A$ es esencialmente pequeño si y sólo si las dos categorías $A$ y $\hat A$ son localmente pequeños.
Así que si $A$ es pequeño entonces está bien, pero la mayoría de las categorías con sus definiciones ingenuas (como conjuntos, anillos, módulos, espacios vectoriales, etc) son categorías grandes localmente pequeñas, lo que implica que sus categorías de preseaf no son localmente pequeñas, por lo que $\mathrm{Hom}_{\hat A}(X, Y)$ puede ser realmente grande.
Para tratar esto, algunos autores utilizan universos de Grothendieck, otros autores utilizan jerarquías de conjuntos (lo que equivale a lo mismo), y otros autores simplemente ignoran la cuestión por completo.
