Series lineales en una curva: una pregunta sobre *grados*.

Question

Consideremos morfismos finitos de una curva proyectiva compleja no singular $C$ a $\mathbb P^r$ , donde $r\geq 1$ es fijo. Así que tenemos que mirar a los paquetes de líneas amplias $L$ en $C$ y subespacios lineales $V\in\textrm{Gr}(r+1,H^0(C,L))$ .

En general (por ejemplo, para $r>1$ ), si $V$ determina $f_V:C\to\mathbb P^r$ entonces $$ \deg f_V\neq \deg L\,\,\,(=\deg f_V(C)). $$ Por ejemplo, la incrustación de $C=\mathbb P^1$ en $\mathbb P^r$ como una curva normal racional es un morfismo de grado $1$ correspondiente a un haz de líneas $L=\mathscr O_C(r)$ de grado $r$ .

Pregunta. ¿Existe alguna relación numérica entre $\deg L$ y $\deg f_V$ cuando $r>1$ ? ¿Existe alguna situación (diferente a $r=1$ ) cuando coinciden?

Gracias. (y perdón si esto es trivial)

Answer 1

Dejemos que $P=\mathbb P(V)$ con gavilla tautológica $O_P(1)$ . Sea $C'=f_V(C)$ y supongamos $f_V$ no es constante. Por la construcción de $f_V$ tenemos $$ L\simeq f_V^*(O_P(1))=g_V^*(O_P(1)|_{C'})$$ donde $g_V$ es $f_V$ pero con $C'$ como variedad objetivo. Ahora $g_V$ es un morfismo finito de curvas, por lo que $$\deg L=\deg g_V\deg (O_P(1)|_{C'})=\deg f_V\deg C'$$ donde $\deg C'$ es el grado de $C'$ como subvariedad de $P$ .

De ello se desprende que $\deg L=\deg f_V$ si y sólo si $C'$ es una línea en $P$ . Esto significa que podemos encontrar una base $e_0, \dots, e_r$ de $V$ tal que $e_2, \dots, e_r$ todos se desvanecen en $C$ . De forma equivalente, esto significa $L$ puede ser generada por dos secciones globales pertenecientes a $V$ .