Quería hacer una pregunta sobre la diferenciación implícita en la diferenciación parcial.
Cuando estaba en el colegio, recuerdo que la diferenciación parcial era algo así:
Cuando se tiene una función compuesta por $x$ y $y$ y te encuentras con un $y$ término, diferenciar con respecto a $y$ y multiplicar por $\frac{dy}{dx}$ es decir $$\frac{d}{dx} = \frac{d}{dy} \times \frac{dy}{dx}$$
Ahora, he leído un problema en el Física sección ayer por la tarde que es relevante para mi curso de Química y no pude resolverlo.
Si tengo la ecuación
\begin{aligned} \frac{F\left(N_{A}, N_{B}\right)}{k T}=& N_{A} \ln \left(\frac{N_{A}}{N}\right)+N_{B} \ln \left(\frac{N_{B}}{N}\right) \\ &+\left(\frac{z w_{A A}}{2 k T}\right) N_{A}+\left(\frac{z w_{B B}}{2 k T}\right) N_{B}+\chi_{A B} \frac{N_{A} N_{B}}{N} \end{aligned}
Puedo obtener una cantidad llamada potencial químico $\mu_{A}$ diferenciando la ecuación anterior con respecto a $N_A$ mientras se mantiene $N_B$ y $T$ constante.
$$\mu_{A}=\left(\frac{\partial F} {\partial N_{A}}\right)_{T, N_{B}}$$
(La ecuación anterior se denomina ecuación de la energía libre)
$N$ es el número total de moléculas del sistema, $N_A$ y $N_B$ son el número de moléculas de A y B respectivamente. $N$ es no constante. Se relacionan simplemente como a través de la suma:
$$N = N_A + N_B$$
lo que tiene sentido.
Esta ecuación también nos muestra que un pequeño cambio en $N_A$ también producirá un pequeño cambio en $N$ por lo que $N$ no es constante, como se ha mencionado anteriormente.
Así que quería salir de esta ecuación, $\mu_{A}$
$$\frac{\mu_{A}}{k T}=\left[\frac{\partial}{\partial N_{A}}\left(\frac{F}{k T}\right)\right]_{T, N_{B}}$$
lo que tiene sentido.
El resultado que se obtiene del libro (página 7), sin embargo, me confundió. Dieron el resultado como
$$=\ln \left(\frac{N_{A}}{N}\right)+1-\frac{N_{A}}{N}-\frac{N_{B}}{N}+\frac{z w_{A A}}{2 k T}+\chi_{A B} \frac{\left(N_{A}+N_{B}\right) N_{B}-N_{A} N_{B}}{\left(N_{A}+N_{B}\right)^{2}}$$
y sólo los dos últimos términos tenían sentido.
La OP preguntaba dónde estaban los términos
$$-\frac{N_{A}}{N}-\frac{N_{B}}{N}$$
y la respuesta dada fue la siguiente:
Te has perdido la $N$ en el logaritmo. Dado que $N_{B}$ se mantiene constante mientras se cambia $N_{A}$ el número total de partículas $N=N_{A}+N_{B}$ también cambia. El término que falta es $$\dfrac{\partial N}{\partial N_{A}}\dfrac{\partial}{\partial N}\left[N_{A}\ln\left(\dfrac{N_{A}}{N}\right)+N_{B}\ln\left(\dfrac{N_{B}}{N}\right)\right]=-\dfrac{N_{A}}{N}-\dfrac{N_{B}}{N}$$
y en los comentarios el valor de $\dfrac{\partial N}{\partial N_{A}}$ se aclaró que era $1$ , utilizando de nuevo la ecuación $N = N_A + N_B$ . Entendí este paso.
pero luego pensé, si ese era el caso, ¿cómo los términos $$\ln \left(\frac{N_{A}}{N}\right)+1$$ ¿surgen entonces?
Mi pensamiento original, similar al del OP era diferenciar:
$$\dfrac{\partial}{\partial N_{A}}\left[N_{A}\ln\left(\dfrac{N_{A}}{N}\right)+N_{B}\ln\left(\dfrac{N_{B}}{N}\right)\right]$$
pero, como se ha explicado, esto supuso $N$ fuera constante, que no lo es.
¿Cómo son los términos $$\ln \left(\frac{N_{A}}{N}\right)+1$$
que se obtiene con esta aplicación de la diferenciación implícita, si $\dfrac{\partial N}{\partial N_{A}} = 1$ utilizando $\dfrac{\partial N}{\partial N_{A}}\dfrac{\partial}{\partial N}$ ?
