¿Qué significa decir que una teoría matemática en particular es un fundamento para las matemáticas?

Question

Normalmente se escucha que la teoría de conjuntos es un fundamento de las matemáticas contemporáneas. La teoría de categorías también es otro fundamento de las matemáticas. Hay otras teorías que se consideran fundamentos de las matemáticas.

Pregunta 1: ¿Qué significa decir que una teoría en particular es un fundamento de las matemáticas contemporáneas, "precisamente"?

Pregunta 2: En algunos casos la gente dice que la teoría de conjuntos es un fundamento para casi todas las partes de las matemáticas modernas. ¿Por qué casi y no todas? ¿Hay algún concepto matemático o campo que no se sepa que sea expresable en términos de axiomas de teoría de conjuntos?

Pregunta 3: ¿Es posible que una teoría en particular sea un fundamento de las matemáticas contemporáneas pero no un fundamento para las matemáticas en el futuro? Si es así, ¿cómo es posible?

Pregunta 4: ¿Tiene sentido comparar dos fundamentos de las matemáticas y concluir que uno de ellos es mejor, más útil o más fundamental que el otro? Si es así, ¿cómo? ¿y qué podemos decir sobre el caso de la teoría de conjuntos y la teoría de categorías?

Answer 1

¡Esa es una pregunta interesante!

Seguramente no hay la respuesta, y supongo que mi opinión también cambiará (y espero que en algún momento converja) durante próximas discusiones y otras respuestas, pero aquí hay un primer intento que se ajusta a mi experiencia.

Propuesta para la definición de sistema fundamental:

El dato subyacente de un sistema fundamental debería incluir lo siguiente:

• Una colección de entidades sintácticas (por ejemplo, fórmulas, árboles de prueba) y relaciones entre ellas (por ejemplo, validez de las fórmulas o árboles de prueba).
• Traducciones de conceptos matemáticos (por ejemplo, objetos, afirmaciones, pruebas) en objetos sintácticos y de juicios sobre ellos (por ejemplo, "La proposición $A$ es demostrable" o "$P$ demuestra la proposición $A$") en afirmaciones sobre relaciones entre los objetos sintácticos asociados.

Este dato debería ser idealmente

• suficientemente expresivo: Todos los conceptos, ideas y juicios matemáticos deben tener una traducción.

• suficientemente significativo: 'La mayoría' de lo que se puede expresar a través del sistema en términos de las entidades sintácticas y sus relaciones debería tener un significado intuitivo, y la traducción debería preservar ese significado.

La última parte de la segunda condición descarta los "sistemas fundamentales" triviales con traducciones constantes.

Ejemplos

1) Teoría de conjuntos (ZFC). Esto parece satisfacer principalmente la condición de expresividad, pero no la propiedad de ser suficientemente significativo:

• Suficientemente expresivo: Hasta donde yo sé, ZFC es suficientemente expresivo para permitir la formalización de toda matemática que no requiera tratar a las clases como objetos de primera clase. Sin embargo, la teoría de categorías solo puede tratarse en el nivel de metateoremas, reemplazando afirmaciones como 'Para toda categoría ${\mathcal C}$ ...' por una cuantificación meta-teórica sobre fórmulas de LOF en una variable libre que satisfaga los axiomas de una categoría. Esto se puede remediar considerando ZFC + U(niversos). Nunca encontré alguna idea o concepto que hubiera deseado formalizar pero no pudiera en ZFC + U.

  Esto también aborda tu segunda y tercera pregunta. También es concebible que en algún momento se vuelva común añadir incluso declaraciones set-theorísticas más fuertes al conjunto estándar de axiomas. Por ejemplo, está el principio de Vopenka con consecuencias categóricas muy agradables (ver http://ncatlab.org/nlab/show/Vop%C4%9Bnka%27s+principle).

• Suficientemente significativo: En mi opinión, para nada: Por ejemplo, puedes preguntar cuál es la intersección de dos conjuntos arbitrarios. Por ejemplo: ¿cuál es la intersección de $\text{sin}$ y $\pi$? Claro, intuitivamente esto es absurdo, pero aún así podemos preguntar e incluso responder a esto, siempre que hayamos acordado alguna construcción explícita de los reales.

2) Los fundamentos de la teoría de categorías, por ejemplo la [T]eoría [E]lemental de la [C]ategoría de [C]onjuntos de Lawvere, corrige, en mi opinión, la última deficiencia de la teoría de conjuntos: Por ejemplo, no se impone que dos conjuntos tengan algo que ver entre sí; en su lugar, solo podemos formar su intersección (en forma de un retroceso) siempre que ambos vengan equipados con un monomorfismo hacia algún tercer objeto común. No estoy seguro, pero en cuanto a la expresividad, creo que ETCS + Universos es tan expresivo como ZFC.

Sin embargo, al escribir esto, me doy cuenta de que a pesar de que lo anterior sugiera que ETCS cumple mejor con los requisitos propuestos de un sistema fundamental que ZFC, aún tiendo a pensar en ZFC en lugar de ETCS. Aparte de la costumbre, eso puede ser porque la traducción de conceptos a ETCS a veces no es tan directa como lo es en ZFC, por lo que tal vez esto también debería ser un criterio?

Por favor, no me malinterpretes - No estoy de ninguna manera intentando menospreciar a ZFC con lo anterior, pero solo quiero señalar que su poder expresivo y flexibilidad vienen al costo de la presencia de afirmaciones sin sentido también.

Answer 2

Probablemente no hay una definición de "fundamento" con la que todos estén de acuerdo. Sin embargo, hay una respuesta a la pregunta de por qué la teoría de conjuntos se encuentra en el fundamento de toda la matemática:

La teoría de conjuntos es una extensión de la lógica proposicional, el marco de razonamiento estricto implícito en todo lo que hacen los matemáticos. Sean $P$ y $Q$ proposiciones, y sean $A$ y $B$ los conjuntos de entidades para las cuales las proposiciones $P$ y $Q$ son verdaderas. Ahora se pueden poner todas las operaciones booleanas en $P,Q$ en correspondencia directa con las operaciones de conjunto en $A,B$, por ejemplo

$$P∨ Q\quad\leftrightarrow\quad A∪B$$

$$P∧ Q\quad\leftrightarrow\quad A∩B$$

$$¬ P\quad\leftrightarrow\quad \overline A$$

etc.

La ventaja clave de la formulación teórica del conjunto de la lógica es que sus elementos (conjuntos) pueden ser objetos que de todas formas son de interés matemático, como números. Así, la teoría de conjuntos difumina la distinción entre objeto de estudio y método de estudio, y proporciona un fundamento natural para ramas de las matemáticas como álgebra, teoría de la probabilidad y topología.