Forma alternativa de demostrar que un conjunto de niveles es cerrado si la función es continua

Question

He estado leyendo los apuntes de una clase de análisis y junto a un libro de texto de otro autor. Tanto mi profesor como el autor introducen la siguiente prueba por contrapositivo:

Dejemos que $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ sea una función continua, entonces $\forall c \in \mathbb{R} $ el conjunto de niveles $N_c=f^{-1}(\{c\})$ está cerrado.

Prueba de ello: Sea $a\in \mathbb{R^n} $ tal que $a \notin N_c$ . Demostraremos que cualquier $a$ no es un punto límite de $N_c$ . Ahora dejemos que $f(a)=b$ y, directamente como consecuencia $b \neq c$ . Entonces definamos $\epsilon= d(b,c)>0$ . Observe que $c \notin B(b, \epsilon)$ .

A partir de la continuidad observamos que $\lim_{x \to a}f(x)=f(a)=b$ . Ahora sabemos $\exists \delta >0$ tal que $f(B(a,\delta)) \subset B(b, \epsilon)$ .

Entonces vemos que $c \notin f(B(a,\delta))$ . Esto implica a su vez que $B(a, \delta) \cap N_c = \emptyset$ . Por definición, esto significa que $a$ no es un punto límite de $N_c$ .

Con esto concluye la prueba, porque nótese que el contrapositivo de $a \notin N_c \rightarrow \text{a is not a limit point of $ N_c $}$ es lo que queríamos probar. Porque si $a$ es un punto límite, está en $N_c$ Por lo tanto $N_c$ es cerrado ya que contiene todos sus puntos límite

Esta prueba por contrapositiva no me pareció tan satisfactoria, ¿hay otras pruebas en las que podamos demostrar directamente la propiedad deseada o el método mencionado anteriormente es realmente la forma tradicional de hacerlo?

Answer 1

Tenga en cuenta que estar "cerrado" es algo "contrapositivo". Como regla general, es mucho más fácil demostrar que un conjunto es abierto (si es cierto) que demostrar que su complemento es cerrado.

Su propia prueba, aunque es correcta, está contada de forma algo engorrosa. No debería ocupar más de tres líneas.

Si $a\notin N_c$ poner $\epsilon:=|f(a)-c|>0$ . Como $f$ es continua en $a$ hay un $\delta>0$ tal que $|f(x)-f(a)|<\epsilon$ Por lo tanto $f(x)\ne c$ para todos $x\in U_\delta(a)$ . Esto demuestra que $U_\delta(a)$ no se cruza con $N_c$ . Desde $a\notin N_c$ fue arbitraria concluimos que $N_c$ está cerrado.