Tengo una función de densidad $\rho(x,y,z)$ y estoy tratando de encontrar la masa de la forma parametrizada por
\begin{equation*}\textbf{r}(u,v) = (\cos(u)\cos(v), \cos(u)\sin(v), u) , \hspace{2mm} u \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}), v \in (0, 2\pi)\end{equation*}
que es el límite de un sólido de revolución de $y = \cos(z)$ cuando se gira alrededor del $z$ eje.
Creo que una forma lógica de establecer esta integral es \begin{equation} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{-\cos(z)}^{\cos(z)} \int_{-\cos(z)}^{\cos(z)}\rho(x,y,z)dxdydz \end{equation}
Por la observación de que ambos $-\cos(z) \leq y \leq \cos(z)$ $-\cos(z) \leq x \leq \cos(z)$ mirando una parcela (he utilizado este sitio aquí )
¿Es esto correcto? También consideré usar una integral de superficie pero no pude obtener un buen vector normal ya que la parametrización no es regular o si debería haber introducido una tercera variable $t$ Una transformación de coordenadas esféricas era casi perfecta, pero el radio estaba limitado por una función trigonométrica, lo que era extremadamente complicado, y no creo que usar el teorema de la divergencia y un campo vectorial funcione bien tampoco.
Puede que acabe usando la integración numérica de todas formas, así que las integrales complicadas son aceptables, sólo que no quiero funciones trascendentales o expresiones absurdas como las que me dan las coordenadas esféricas.
