¿El método de Newton para la inversión de una serie de trabajo?

Question

Supongamos que tenemos $z=f(x)$ $f$ una serie infinita. Queremos encontrar a $f^{-1}(z)=x$. Newton propuso el siguiente método (como se describe en Dunham):

En primer lugar, hemos de decir $x=z+r$. Nos encontramos con $z=f(z+r)$, la caída de todos los términos de segundo grado o superior en $r$ encontrar $r = g(z)$. A continuación, eliminamos cualquier cuadrática o superior en términos de $z$ encontrar $r = a + bz$. Repetimos, la escritura $x=z+(a+bz)+r'$ y así sucesivamente, encontrando $x=z+r+r'+r''+\dots$.

Me gusta mucho este método, como se ahorra uno el trabajo de, bueno, encontrar el real inversa. Pero me pregunto: ¿este método siempre funciona? Intuitivamente, parece que debe ser un "mal comportamiento" de la serie para que $z+r+\dots$ no converge a $x$.

Answer 1

Funciona si, por simplicidad $f(x)=0+x+O(x^2)$.

De hecho, se construye una secuencia de alimentación de la serie $(g_k)_k$ donde$g_1(x)=x$, de modo que $f(g_1(x))-x=O(x^2)$. A continuación encontrará $g_{k+1}$ $g_k$ tal que $g_{k+1}-g_k=O(x^{k+1})$$f(g_k(x))-x=O(x^{k+1})$. Por lo tanto, la secuencia de $(g_k)_k$ converge a algunos $g$ en el sentido de la convergencia que tenemos para poder formal de la serie y también se $f(g(x))=x$ en el sentido de poder formal de la serie. Tenga en cuenta que me dicen explícitamente formal de alimentación de la serie. Sin embargo, si $f$ es analítica (positivo radio de convergencias), a continuación, la analítica, la inversa también se garantiza que existe y, por supuesto, el poder de la serie nos encontramos es precisamente esta analítica de la función.