Aquí hay (posiblemente) dos preguntas:
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¿Por qué debemos creer que los grandes axiomas cardinales son consistentes?
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Por qué, si creemos que los grandes axiomas cardinales son consistentes, ¿debemos creer que son verdaderos?
He aquí algunas razones para creer que los axiomas cardinales grandes son consistentes (o al menos, que los axiomas cardinales pequeños que se han estudiado durante mucho tiempo son consistentes).
En primer lugar, está el hecho empírico de que nadie ha publicado una prueba de una contradicción a partir del supuesto $\mathsf{ZFC} + {}$ "hay un cardinal inaccesible" (por ejemplo) a pesar de un largo periodo de estudio en el que se han demostrado muchos teoremas a partir de esta hipótesis. Aunque algunas grandes hipótesis cardinales (como los cardinales de Reinhardt) han resultado ser incoherentes, esto se descubrió con relativa rapidez, en el periodo en el que la mayoría de la gente todavía era escéptica con respecto a ellas.
En segundo lugar, hay una "estructura fina" que da modelos canónicos para los axiomas cardinales grandes más pequeños (hasta ahora, hasta los cardinales de Woodin y un poco más allá.) Parece razonable esperar que un estudio sistemático de la estructura de los modelos de una teoría acabe por revelar la inconsistencia de la teoría, si es que es inconsistente, y esto no ha ocurrido todavía.
Para la pregunta 2, supongamos ahora (informalmente, en aras de una argumentación no matemática) que los grandes axiomas cardinales son consistentes. ¿Por qué deberíamos entonces creer que son verdaderos? A la mayoría de las personas les resulta natural creer en los supuestos que utilizan en su trabajo cotidiano, por lo que esta cuestión está estrechamente relacionada con la pregunta de qué axiomas debería la gente utilice . Por supuesto, la respuesta dependerá del tipo de teoremas que quieran demostrar. En la mayoría de las áreas de la investigación matemática, $\mathsf{ZFC}$ parece ser suficiente en un sentido práctico y no parece (para mí) que haya un argumento convincente para que la gente que trabaja en estas áreas deba usar, o creer, cualquier tipo de axioma más allá de $\mathsf{ZFC}$ .
Así que tal vez la pregunta debería ser revisada a "¿por qué los matemáticos que quieren demostrar teoremas más allá de $\mathsf{ZFC}$ utilizar grandes axiomas cardinales, en lugar de alternativas como $V=L$ ?" Una respuesta práctica es que hacerlo nos permite demostrar muchos teoremas interesantes. Supongamos que asumo $\mathsf{ZFC} + {}$ "hay un cardinal mensurable" y usted asume " $\mathsf{ZFC} + V=L$ ." Entonces para cada teorema que demuestre, podría haber demostrado (si fuera lo suficientemente inteligente) un teorema correspondiente de la forma $L \models \ldots.$ Por otro lado, puedo tener la oportunidad de descubrir un teorema interesante sobre los cardinales medibles que tú no tienes la oportunidad de descubrir (a menos que investigues los modelos transitivos contables con cardinales medibles, lo que parece algo antinatural si crees que $V=L$ aunque es presumiblemente consistente desde el punto de vista formal que usted asuma la existencia de tales modelos).
Este último punto se resume en el lema "maximizar el poder interpretativo". Muchos de los puntos que expuse anteriormente están mejor expuestos en el siguiente documento. Creo que lo que he escrito aquí se inclina hacia el punto de vista de Steel, pero no pretendo haberlo plasmado fielmente.
Feferman, Solomon; Friedman, Harvey M.; Maddy, Penelope y Steel, John R. (2000). ¿Necesitan las matemáticas nuevos axiomas? Boletín de Lógica Simbólica 6 (4):401-446.
