La definición habitual de a la izquierda $T$ -nilpotencia para un 1 o 2 lados ideal $I$ de $R$ es que en cualquier secuencia $(a_1, a_2, \ldots)$ con $a_i\in I$ Hay un $n$ tal que $a_1a_2\cdots a_n = 0$ . La definición habitual de a la derecha $T$ -nilpotencia para un 1 o 2 lados ideal $I$ de $R$ es que en cualquier secuencia $(a_1, a_2, \ldots)$ con $a_i\in I$ Hay un $n$ tal que $a_n\cdots a_1 = 0$ .
Yo sostengo que la suma de dos izquierdas $T$ -Los ideales de izquierda nilpotentes son de izquierda $T$ -nilpotente.
Voy a argumentar el contrapositivo, por lo que se supone que $A, B$ son ideales de izquierda de $R$ tal que $A+B$ no se deja $T$ -nilpotente. Entonces existe una secuencia infinita $(a_1+b_1, a_2+b_2, \ldots)$ con $a_i\in A, b_i\in B$ tal que $$ (a_1+b_1)(a_2+b_2)\cdots (a_n+b_n)\neq 0 $$ por cada $n$ . Multiplicando esto, se deduce que, para cada $n$ , existe un producto no nulo de la forma $c_1c_2\cdots c_n$ donde el símbolo $c$ es $a$ o $b$ . Registra este hecho recogiendo todas las secuencias de este tipo $(c_1,\ldots,c_n)$ en un conjunto $G$ las "buenas secuencias". (Por ejemplo, $(c_1,c_2,c_3)$ podría ser $(a_1,a_2,a_3)$ o $(a_1,a_2,b_3)$ o $(a_1,b_2,a_3)$ o ETC, y es "bueno" si el producto $c_1c_2c_3$ no es cero).
Ordenar el conjunto de secuencias buenas diciendo que $\sigma\leq \tau$ para $\sigma,\tau\in G$ si $\sigma$ es un segmento inicial de $\tau$ . Dado que existen secuencias buenas arbitrariamente largas, el conjunto $G$ es un árbol infinito bajo este orden. También es finitamente ramificado, lo que significa que si $\sigma\in G$ es un $n$ -buena secuencia de términos, entonces hay un número finito de formas de extender $\sigma$ a un $(n+1)$ -secuencia buena. (De hecho, hay a lo sumo 2 formas de extender $(c_1,\ldots,c_n)$ , a saber $(c_1,\ldots,c_n,a_{n+1})$ o $(c_1,\ldots,c_n,b_{n+1})$ .)
El lema del árbol de Konig demuestra que existe una rama infinita en el árbol de las secuencias buenas. Esto significa que existe una secuencia $\sigma_1, \sigma_2, \ldots$ tal que $\sigma_{i+1}$ extiende $\sigma_i$ en un término por cada $i$ . Estos $\sigma_i$ son aproximaciones parciales a un infinito secuencia $(c_1,c_2,c_3,\ldots)$ de elementos en $A\cup B$ tal que $c_1c_2\cdots c_n \neq 0$ para todos $n$ .
Ahora bien, o bien infinitamente muchos de los $c$ 's lie in $A$ o infinitamente muchas mienten en $B$ (o ambos). Digamos que existe una secuencia infinita $i_1 < i_2 < \cdots$ de subíndices tal que $c_{i_j}\in A$ para todos $j$ . Entonces agrupando términos y multiplicando obtenemos una secuencia $$ (d_1,d_2,d_3.\ldots) = (\underline{c_1c_2\cdots c_{i_1}}, \underline{c_{i_{1}+1}\cdots c_{i_2}}, \underline{c_{i_{2}+1}\cdots c_{i_3}}, \ldots ), $$ que es una secuencia infinita de elementos de $A$ donde el producto de cualquier segmento inicial no es cero. Esto contradice a la izquierda $T$ -nilpotencia de $A$ .
Si se tratara de ideales de derecha en lugar de ideales de izquierda, se argumentaría exactamente igual, pero se agruparían de forma diferente al final, concretamente como $$ (\underline{c_{i_1}\cdots c_{i_2-1}}, \underline{c_{i_{2}}\cdots c_{i_3-1}}, \underline{c_{i_{3}}\cdots c_{i_4-1}}, \ldots). $$ Cada término subrayado pertenece a $A$ y si multiplicamos los elementos en cualquier segmento inicial debemos obtener un valor no nulo, ya que premultiplicando el producto con $c_1\cdots c_{{i_1}-1}$ da un valor distinto de cero. Por lo tanto, la suma de dos ideales de la izquierda o de dos ideales de la derecha que sean a la vez a la izquierda $T$ -nilpotente es de nuevo la izquierda $T$ -nilpotente. \\\
