Soy nuevo en el cálculo fraccionario. Veo que la mayoría de los artículos utilizan la derivación de Caputo en lugar de la derivación de Riemann-Liouville.
Se agradecerá cualquier ayuda.
Cita de Sobre las derivadas de Riemann-Liouville y Caputo :
En el ámbito de las ecuaciones diferenciales fraccionarias, se utilizan sobre todo las derivadas de Caputo y las de Riemann-Liouville. Parece que la primera es más bienvenida, ya que el valor inicial de la ecuación diferencial fraccionaria con derivada de Caputo es el mismo que el de la ecuación diferencial entera;
Pero...
La mayoría de la gente piensa que estos valores iniciales de orden fraccionario no son fáciles de medir. Esto crea una ilusión; es decir, parece que la derivada RL se utiliza en menos situaciones. Pero en realidad no es así. Las interpretaciones físicas y geométricas de la derivada RL pueden encontrarse en "An explicit finite difference method and a new von Neumann-type stability analysis for fractional diffusion equations". Permite observar y/o medir los valores de las integrales y derivadas de RL.
Vea los ejemplos en el artículo enlazado. Más ejemplos de derivados de RL en Cálculo fraccionario: Definiciones y aplicaciones .
También es interesante, ver la sección Riemann versus Caputo en Introducción al cálculo fraccionario .
Desde un punto de vista probabilístico, cuando el orden de integración es $\beta\in(0,1)$ El pequeño diferencia entre la derivada de Riemann-Liouville $^{RL}D^{\beta}_a$ y la derivada de Caputo $^{C}D^{\beta}_a$ es que
Para ver esto escribe las dos derivadas en sus formas generadoras (que se pueden obtener integrando por partes las definiciones que involucran a las integrales de Riemann-Liouville) \begin{align} ^{RL}D^{\beta}_af(x)&= \int_0^{a-x}(f(x+y)-f(x))\nu(y)dy &-f(x)\int_{a-x}^\infty\nu(y)dy,\\ ^{C}D^{\beta}_a f(x)&= \int_0^{a-x}(f(x+y)-f(x))\nu(y)dy &+(f(a)-f(x))\int_{a-x}^\infty\nu(y)dy, \end{align}
donde $\nu(y):=\frac{-\Gamma(-\beta)^{-1}}{y^{1+\beta}}$ y $x<a$ . La intuición es ahora clara:
considerar el proceso $X^{\beta}$ a partir de $x<a$ entonces el primer trimestre (común a ambos operadores) suma todas las intensidades $\nu(y)$ para cada forma de salto $x$ a $y$ que cae por debajo $a$ ( $0\le y\le a-x$ ) , en efecto $$\text{sum}_y\ (f(x+y)-f(x)) \nu(y);$$ El segundo término en el Rieman-Liouville el caso es un término de asesinato estándar $-f(x)$ por un coeficiente (no limitado) $b(x):=\int_{a-x}^{\infty}\nu(y)dy,$ que contiene toda la intensidad de los saltos que habrían caído por encima de $a$ (para el proceso que comienza en $x$ ). El segundo mandato en el Caputo caso mata el proceso con la intensidad de todos los saltos cayendo por encima de $a$ ( en efecto, de nuevo $(-f(x)b(x))$ , PERO también regenera el proceso en $a$ a través del término regenerador $+f(a)b(x)$ con el mismo coeficiente/suma de las intensidades.
Una ventaja clave de Caputo es que permite tener una condición de contorno no nula $\phi_0$ por ejemplo, en las ecuaciones de difusión fraccionaria en el tiempo $$ ^{C}D^{\beta}_0 u= \Delta u, \quad u(0)=\phi_0. $$
Las versiones de derecha o izquierda corresponden al aumento $(X^{\beta})$ o el proceso decreciente $(-X^{\beta})$ con barrera superior o inferior ${a}$ respectivamente. Si te sientes cómodo con las cadenas de Markov, toma una cadena monótona $P$ , matarlo o absorberlo en el intento de cruzar una barrera y tratar de escribir los tres generadores (triviales).
Para pedir $\beta\in(1,2)$ Por ejemplo, puede ver esto artículo . Los órdenes superiores a 2 quedan fuera del ámbito de los procesos de Markov.
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